[Poetize I]黑魔法师之门

描述 Description

　　applepi被囚禁的地点只有一扇门，当地 人称它为“黑魔法师之门”。这扇门上画着一张无向无权图，而打开这扇门的密码就是图中【每个点的度数大于零且都是偶数】的子图的个数对 1000000009取模的值。此处子图 (V, E) 定义为：点集V和边集E都是原图的任意子集，其中E中的边的端点都在V中。
　　但是Vani认为这样的密码过于简单，因此门上的图是动态的。起初图中只有N个顶点而没有边。Vani建造的门控系统共操作M次，每次往图中添加一条边。你必须在每次操作后都填写正确的密码，才能够打开黑魔法师的牢狱，去拯救伟大的领袖applepi。

题解：

题意很清楚，但是感觉很神。。。
刚开始一直在想如何构造，发现太复杂
然后查题解发现只有要当前两点在同一连通块里，ans*=2，最后输出ans-1
表示不理解，就没写。
昨天翻到了lyd的题解
他引入了一个叫 元环 的东西，然后证明答案就是 2^元环的个数
我表示对元环的概念不理解，然后发现如果把整张图画在一张平面上，那么 元环 就是 区域！
然后为什么加入一条边连接两个已在同一连通块里的时候区域数+1呢？
这使我想到了欧拉公式：
V+F-E=2
其中 V表顶点数，F表区域数，E表边数
加入一条边后E++，V不变，所以F要++
至于为什么答案就是2^区域-1
出题人说：
每一个区域有选或不选2种情况，若选就把这个区域的边界的边的选择次数++，最后把所有选择次数为奇数的边选出来救能够成答案。可以证明这是不重不漏的。
至于为什么不重不漏，我还没有思考出结果。
挖坑待填。。。
代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<vector>

 #include<map>

 #include<set>

 #include<queue>

 #include<string>

 #define inf 1000000000

 #define maxn 250000

 #define maxm 500+100

 #define eps 1e-10

 #define ll long long

 #define pa pair<int,int>

 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

 #define mod 1000000009

 using namespace std;

 inline int read()

 {

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }
 int n,m,fa[maxn];
 inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}

 int main()

 {

     freopen("input.txt","r",stdin);

     freopen("output.txt","w",stdout);

     n=read();m=read();
     for1(i,n)fa[i]=i;
     int ans=;
     for1(i,m)
     {
         int x=find(read()),y=find(read());
         if(x!=y)fa[x]=y;else ans<<=,ans%=mod;
         printf("%d\n",(ans-+mod)%mod);
     }

     return ;

 }