[luogu2513 HAOI2009] 逆序对数列 (计数dp)

题目描述

对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

输入输出格式

输入格式：

第一行为两个整数n，k。

输出格式：

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

4 1

输出样例#1：

3

说明

样例说明：

下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；

测试数据范围

30%的数据 n<=12

100%的数据 n<=1000，k<=1000

f[i][j] 表示i的排列有j个逆序对数的情况数

依次插入1,2,3,4......,n

插入第i个数时：

当插在0位置时逆序对增加(i-1)组,

当插在1位置时逆序对增加(i-2)组,

......

跟据以上想法推出出动规方程：

F(i,1,n) F(j,1,k) F(l,max(1,i-j),i)
    f[i][j]+=f[i-1][j-(i-l)];

n^3过不了，用下前缀和优化即可

code:

//By Menteur_Hxy
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <ctime>
#define M(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define LL long long
using namespace std;

inline LL rd() {
	LL x=0,fla=1; char c=' ';
	while(c>'9'|| c<'0') {if(c=='-') fla=-fla; c=getchar();}
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*fla;
}

inline void out(LL x){
    int a[25],wei=0;
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    for(;x;x/=10) a[++wei]=x%10;
    if(wei==0){ puts("0"); return;}
    for(int j=wei;j>=1;--j) putchar('0'+a[j]);
    putchar('\n');
}

const int MOD=10000;
const int N=1010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,k;
int f[N][N];

int main() {
	n=rd(),k=rd();
	f[1][0]=1;
	F(i,2,n) {
		LL sum=0;
		F(j,0,k) {
			(sum+=f[i-1][j])%MOD;
			f[i][j]=sum%MOD;
			if(j-i+1>=0) ((sum-=f[i-1][j-i+1])+MOD)%MOD;
		}
	}
	out(f[n][k]);
	return 0;
}