FJOI2007轮状病毒 行列式递推详细证明

题目链接

题目给了你一个奇怪的图，让你求它的生成树个数。

开始写了一个矩阵树：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cmath>
#define P puts("lala")
#define pc cerr<<"lala"<<endl
#define HH puts("")
#define pb push_back
#define pf push_front
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
inline void read(int &re)
{
    char ch=getchar();int g=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')g=-1;ch=getchar();}
    re=0;
    while(ch<='9'&&ch>='0') re=(re<<1)+(re<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    re*=g;
}
typedef long long ll;
inline void read(ll &re)
{
    char ch=getchar();ll g=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')g=-1;ch=getchar();}
    re=0;
    while(ch<='9'&&ch>='0') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-48ll,ch=getchar();
    re*=g;
}

const int N=109;

int n;
ll kir[N][N];

ll gauss()
{
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        for(int j=i+1;j<n;++j)
        {
            while(kir[j][i])
            {
                ll t=kir[i][i]/kir[j][i];
                for(int k=i;k<n;++k)
                {
                    kir[i][k]=kir[i][k]-kir[j][k]*t;
                    swap(kir[i][k],kir[j][k]);
                }
                ans=-ans;
            }
        }
        ans=ans*kir[i][i];
    }
    return ans;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);freopen("1.out","w",stdout);
#endif
    int i,j,opt,T;
    read(n);
    for(i=0;i<n;++i)
    {
        kir[i][i]++;kir[n][n]++;
        kir[i][n]=-1;kir[n][i]=-1;
    }
    for(i=0;i<n;++i)
    {
        kir[i][i]++;kir[(i+1)%n][(i+1)%n]++;
        kir[i][(i+1)%n]=-1;kir[(i+1)%n][i]=-1;
    }
    n++;
    ll ans=gauss();
    printf("%lld",abs(ans));
    return 0;
}
/*

*/

发现答案会超过long long的范围，而用高精好像会T，于是花了几十分钟去推这个基尔霍夫矩阵行列式的递推式。

首先，我们把这个图的基尔霍夫矩阵最后一行最后一列消去，得到这样的矩阵A

|3 -1 0 ... ... 0 -1|

|-1 3 -1 0 ....0  0|

|0 -1 3 -1 0 ...  0|

|...      ...         ...|

|-1 0... ... ...-1 3 |

现在只需要求这个矩阵的行列式。

我们先假定n为奇数，偶数可以同样算出。

我们选择第一行消下去，得到的式子中有这么一项：

B:

|3 -1 0 ... ... 0  0|

|-1 3 -1 0 ....0  0|

|0 -1 3 -1 0 ...  0|

|...      ...         ...|

|0  0... ... ...-1 3 |

（注意它在(1,n)与(n,1)的元素与A不一样）

设长，宽为n的上面那个矩阵的行列式为f(n)

把矩阵A第一行消去后，得到3*f(n-1)与矩阵：(为了方便，以n=5为例画出来)

(+)

|-1 -1 0 0|

|0 3  -1 0|

|0 -1 3 -1|

|-1 0 -1 3|

(-)

|-1 3 -1 0|

|0 -1 3 -1|

|0  0 -1 3|

|-1 0 0 -1|

再对两个矩阵消去第一列，其中会得到两个三角矩阵(对角线上全是-1)，直接算出来行列式为-1

得到det(A)=3*f(n-1)-2*f(n-2)-2

于是我们只需算出f(n)

对于f(n)同样的消两次，然后发现除了f(n-1),f(n-2)，剩下的那个矩阵行列式为0(它有一整列都是0)

得到:f(n)=3*f(n-1)-f(n-2)

于是特判n=1,n=2，其余写高精递推即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cmath>
#define P puts("lala")
#define pc cerr<<"lala"<<endl
#define HH puts("")
#define pb push_back
#define pf push_front
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
inline void read(int &re)
{
    char ch=getchar();int g=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')g=-1;ch=getchar();}
    re=0;
    while(ch<='9'&&ch>='0') re=(re<<1)+(re<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    re*=g;
}
typedef long long ll;
inline void read(ll &re)
{
    char ch=getchar();ll g=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')g=-1;ch=getchar();}
    re=0;
    while(ch<='9'&&ch>='0') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-48ll,ch=getchar();
    re*=g;
}

const int N=109;

int n;

struct big
{
    int len;
    int s[100];
    big() {clean();}
    void clean()
    {
        memset(s,0,sizeof(s));len=0;
    }
    void operator = (int x)
    {
        for(;x;x/=10) s[len++]=x%10;
    }
    void print()
    {
        for(int i=len-1;i>=0;--i) printf("%d",s[i]);
        putchar('\n');
    }
};

big c;
big operator + (big a,big b)
{
    int len=max(a.len,b.len);
    c.clean();
    c.len=len;
    for(int i=0;i<len;++i) c.s[i]=a.s[i]+b.s[i];
    for(int i=0;i<len;++i) c.s[i+1]+=c.s[i]/10,c.s[i]%=10;
    if(c.s[len]) c.len++;
    return c;
}

big operator - (big a,big b)//a > b
{
    c.clean();
    for(int i=0;i<a.len;++i)
    {
        c.s[i]+=a.s[i]-b.s[i];
        if(c.s[i]<0) c.s[i]+=10,a.s[i+1]--;
    }
    int len=a.len-1;
    for(;!c.s[len];len--);
    c.len=len+1;
    return c;
}

big operator * (big a,big b)
{
    int len=a.len+b.len-1;
    c.clean();
    c.len=len;
    for(int i=0;i<a.len;++i) for(int j=0;j<b.len;++j) c.s[i+j]+=a.s[i]*b.s[j];
    for(int i=0;i<len;++i) c.s[i+1]+=c.s[i]/10,c.s[i]%=10;
    if(c.s[len]) c.len++;
    return c;
}

big f[N];

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);freopen("1.out","w",stdout);
#endif
    int i,j,opt,T;
    read(n);
    f[1]=3;f[2]=8;

    if(n==1) {printf("1");return 0;}
    else if(n==2) {printf("5");return 0;}

    big three,two;
    three=3;two=2;

    for(i=3;i<=n;++i) f[i]=three*f[i-1]-f[i-2];

    big ans=(three*f[n-1])-(two*f[n-2])-two;

    ans.print();
    return 0;
}
/*

*/