逻辑回归原理（python代码实现）

Logistic Regression Classifier逻辑回归主要思想就是用最大似然概率方法构建出方程，为最大化方程，利用牛顿梯度上升求解方程参数。

• 优点：计算代价不高，易于理解和实现。
• 缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。
• 使用数据类型：数值型和标称型数据。

介绍逻辑回归之前，我们先看一问题，有个黑箱，里面有白球和黑球，如何判断它们的比例。

我们从里面抓3个球，2个黑球，1个白球。这时候，有人就直接得出了黑球67%，白球占比33%。这个时候，其实这个人使用了最大似然概率的思想，通俗来讲，当黑球是67%的占比的时候，我们抓3个球，出现2黑1白的概率最大。我们直接用公式来说明。

假设黑球占比为P，白球为1-P。于是我们要求解MAX(P*P*(1-P))，显而易见P=67%（求解方法：对方程求导，使导数为0的P值即为最优解）

我们看逻辑回归，解决的是二分类问题，是不是和上面黑球白球问题很像，是的，逻辑回归也是最大似然概率来求解。

假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是： 
 
上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）： 

这里我们稍微变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有xi的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：

 
其中第三步到第四步使用了下面替换。 
 
这时候为求最大值，对L(θ)对θ求导，得到： 
 
然后我们令该导数为0，即可求出最优解。但是这个方程是无法解析求解（这里就不证明了）。 
最后问题变成了，求解参数使方程L最大化，求解参数的方法梯度上升法（原理这里不解释了，看详细的代码的计算方式应该更容易理解些）。 
根据这个转换公式 
 
我们代入参数和特征，求P，也就是发生1的概率。 
 
上面这个也就是常提及的sigmoid函数，俗称激活函数，最后用于分类（若P(y=1|x;ΘΘ )大于0.5，则判定为1）。

下面是详细的逻辑回归代码，代码比较简单，主要是要理解上面的算法思想。个人建议，可以结合代码看一步一步怎么算的，然后对比上面推导公式，可以让人更加容易理解，并加深印象。

 from numpy import *
 filename='...\\testSet.txt' #文件目录
 def loadDataSet():   #读取数据（这里只有两个特征）
     dataMat = []
     labelMat = []
     fr = open(filename)
     for line in fr.readlines():
         lineArr = line.strip().split()
         dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])   #前面的1，表示方程的常量。比如两个特征X1,X2，共需要三个参数，W1+W2*X1+W3*X2
         labelMat.append(int(lineArr[2]))
     return dataMat,labelMat

 def sigmoid(inX):  #sigmoid函数
     return 1.0/(1+exp(-inX))

 def gradAscent(dataMat, labelMat): #梯度上升求最优参数
     dataMatrix=mat(dataMat) #将读取的数据转换为矩阵
     classLabels=mat(labelMat).transpose() #将读取的数据转换为矩阵
     m,n = shape(dataMatrix)
     alpha = 0.001  #设置梯度的阀值，该值越大梯度上升幅度越大
     maxCycles = 500 #设置迭代的次数，一般看实际数据进行设定，有些可能200次就够了
     weights = ones((n,1)) #设置初始的参数，并都赋默认值为1。注意这里权重以矩阵形式表示三个参数。
     for k in range(maxCycles):
         h = sigmoid(dataMatrix*weights)
         error = (classLabels - h)     #求导后差值
         weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #迭代更新权重
     return weights

 def stocGradAscent0(dataMat, labelMat):  #随机梯度上升，当数据量比较大时，每次迭代都选择全量数据进行计算，计算量会非常大。所以采用每次迭代中一次只选择其中的一行数据进行更新权重。
     dataMatrix=mat(dataMat)
     classLabels=labelMat
     m,n=shape(dataMatrix)
     alpha=0.01
     maxCycles = 500
     weights=ones((n,1))
     for k in range(maxCycles):
         for i in range(m): #遍历计算每一行
             h = sigmoid(sum(dataMatrix[i] * weights))
             error = classLabels[i] - h
             weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i].transpose()
     return weights

 def stocGradAscent1(dataMat, labelMat): #改进版随机梯度上升，在每次迭代中随机选择样本来更新权重，并且随迭代次数增加，权重变化越小。
     dataMatrix=mat(dataMat)
     classLabels=labelMat
     m,n=shape(dataMatrix)
     weights=ones((n,1))
     maxCycles=500
     for j in range(maxCycles): #迭代
         dataIndex=[i for i in range(m)]
         for i in range(m): #随机遍历每一行
             alpha=4/(1+j+i)+0.0001  #随迭代次数增加，权重变化越小。
             randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex)))  #随机抽样
             h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
             error=classLabels[randIndex]-h
             weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex].transpose()
             del(dataIndex[randIndex]) #去除已经抽取的样本
     return weights

 def plotBestFit(weights):  #画出最终分类的图
     import matplotlib.pyplot as plt
     dataMat,labelMat=loadDataSet()
     dataArr = array(dataMat)
     n = shape(dataArr)[0]
     xcord1 = []; ycord1 = []
     xcord2 = []; ycord2 = []
     for i in range(n):
         if int(labelMat[i])== 1:
             xcord1.append(dataArr[i,1])
             ycord1.append(dataArr[i,2])
         else:
             xcord2.append(dataArr[i,1])
             ycord2.append(dataArr[i,2])
     fig = plt.figure()
     ax = fig.add_subplot(111)
     ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
     ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
     x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
     y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
     ax.plot(x, y)
     plt.xlabel('X1')
     plt.ylabel('X2')
     plt.show()

 def main():
     dataMat, labelMat = loadDataSet()
     weights=gradAscent(dataMat, labelMat).getA()
     plotBestFit(weights)

 if __name__=='__main__':
     main()

跑完代码结果： 
 
当然，还可以换随机梯度上升和改进的随机梯度上升算法试试，效果都还不错。 
下面是代码使用的数据，可以直接复制本地text里面，跑上面代码。

 -0.017612   14.053064   0
 -1.395634   4.662541    1
 -0.752157   6.538620    0
 -1.322371   7.152853    0
 0.423363    11.054677   0
 0.406704    7.067335    1
 0.667394    12.741452   0
 -2.460150   6.866805    1
 0.569411    9.548755    0
 -0.026632   10.427743   0
 0.850433    6.920334    1
 1.347183    13.175500   0
 1.176813    3.167020    1
 -1.781871   9.097953    0
 -0.566606   5.749003    1
 0.931635    1.589505    1
 -0.024205   6.151823    1
 -0.036453   2.690988    1
 -0.196949   0.444165    1
 1.014459    5.754399    1
 1.985298    3.230619    1
 -1.693453   -0.557540   1
 -0.576525   11.778922   0
 -0.346811   -1.678730   1
 -2.124484   2.672471    1
 1.217916    9.597015    0
 -0.733928   9.098687    0
 -3.642001   -1.618087   1
 0.315985    3.523953    1
 1.416614    9.619232    0
 -0.386323   3.989286    1
 0.556921    8.294984    1
 1.224863    11.587360   0
 -1.347803   -2.406051   1
 1.196604    4.951851    1
 0.275221    9.543647    0
 0.470575    9.332488    0
 -1.889567   9.542662    0
 -1.527893   12.150579   0
 -1.185247   11.309318   0
 -0.445678   3.297303    1
 1.042222    6.105155    1
 -0.618787   10.320986   0
 1.152083    0.548467    1
 0.828534    2.676045    1
 -1.237728   10.549033   0
 -0.683565   -2.166125   1
 0.229456    5.921938    1
 -0.959885   11.555336   0
 0.492911    10.993324   0
 0.184992    8.721488    0
 -0.355715   10.325976   0
 -0.397822   8.058397    0
 0.824839    13.730343   0
 1.507278    5.027866    1
 0.099671    6.835839    1
 -0.344008   10.717485   0
 1.785928    7.718645    1
 -0.918801   11.560217   0
 -0.364009   4.747300    1
 -0.841722   4.119083    1
 0.490426    1.960539    1
 -0.007194   9.075792    0
 0.356107    12.447863   0
 0.342578    12.281162   0
 -0.810823   -1.466018   1
 2.530777    6.476801    1
 1.296683    11.607559   0
 0.475487    12.040035   0
 -0.783277   11.009725   0
 0.074798    11.023650   0
 -1.337472   0.468339    1
 -0.102781   13.763651   0
 -0.147324   2.874846    1
 0.518389    9.887035    0
 1.015399    7.571882    0
 -1.658086   -0.027255   1
 1.319944    2.171228    1
 2.056216    5.019981    1
 -0.851633   4.375691    1
 -1.510047   6.061992    0
 -1.076637   -3.181888   1
 1.821096    10.283990   0
 3.010150    8.401766    1
 -1.099458   1.688274    1
 -0.834872   -1.733869   1
 -0.846637   3.849075    1
 1.400102    12.628781   0
 1.752842    5.468166    1
 0.078557    0.059736    1
 0.089392    -0.715300   1
 1.825662    12.693808   0
 0.197445    9.744638    0
 0.126117    0.922311    1
 -0.679797   1.220530    1
 0.677983    2.556666    1
 0.761349    10.693862   0
 -2.168791   0.143632    1
 1.388610    9.341997    0
 0.317029    14.739025   0

参考： 
- http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/20319673 
- Machine Learning in Action 
- 统计学习方法

转载：http://blog.csdn.net/csqazwsxedc/article/details/69690655