Gym-100451B：Double Towers of Hanoi

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题目大意：把汉诺双塔按指定顺序排好的最少步数

我写这题写了很久...终于发现不dp不行

把一个双重塔从一根桩柱移动到另一根桩柱需要移动多少次？

最佳策略是移动一个双重 (n-1) 塔，接着移动两个最大的圆盘，然后再次移动双重 (n-1) 塔，从而 $A_n = 2 * A_{n-1} + 2,A_n = 2^{n+1} - 2 $。

这会交换两个最大的圆盘，其余的 \(2n-2\) 个圆盘次序不变。

如果在最后的排列中要把所有同样尺寸的圆盘恢复成原来的从上到下的次序，需要移动多少次？

有两个想法：（假设初始盘子都在A柱上）

一：先把双重（n-1）塔按顺序在C柱上搞好，再2步把最大的两个盘丢到B柱上，\(A_{n-1}\)步把双重（n-1）塔丢A柱子上，再2步把最大的两个盘丢到C柱上，最后\(A_{n-1}\)步把双重（n-1）塔丢C柱子上

发现这样顺序刚好是对的\(B_n=B_{n-1}+2^{n+1}\)

二：先把双重（n-1）塔按顺序在C柱上搞好，再移动靠上的一个大圆盘J到B柱，把（n-1）塔再移上B柱上的大圆盘，移动另一个大圆盘H，把（n-1）塔移到一根空柱上，把H放在J上，再把（n-1）塔移到两个大圆盘上，发现顺序刚好也是对的

\(B_n = A_{n-1} + 1 + A_{n-1} + 1 + A_{n-1} + 1 + A_{n-1} = 4A_{n-1} + 3 = 4(2^{n} - 2) + 3 = 2^{n+2} - 5\)

然后你发现这两个式子是等价的。。。

我的想法：除了最底下的两个盘子，如果两个盘子的顺序是倒过来的，那么在移动的时候就先正着与比它小的盘子放好一堆，在移动更大的两个盘子的时候用\(A_n\)的做法，顺序不就又倒过来了吗？

事实证明这是错的，无法保证最优性

所以dp吧

g[i]表示把前\(2(i-1)\)块按顺序排好，最后两块也按要求顺序排好的最小步数

f[i]表示把前\(2(i-1)\)块按顺序排好，最后两块与要求顺序相反最小步数

\(f[i]=g[i-1]+4+2^{i+1}-4=g[i-1]+2^{i+1}\)

表示先把i-1层按顺序移出去，再移动第i层，i-1层移到另一个柱上，再移动第i层，i-1层移到第i层上，这样顺序刚好是对的（类似\(B_i\)的移法）

\(g[i]=f[i-1]+2+ 2^i-2=f[i-1]+ 2^i\)

表示先把i-1层移出去，再把i层的两个盘移出，再把i-1层移上去

结合代码理解

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
char cch;
inline int rd(){
    int x=0,fl=1;
    cch=getchar();
    while(cch>'9'||cch<'0'){
        if(cch=='-') fl=-1;
        cch=getchar();
    }
    while(cch>='0'&&cch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+cch-'0',cch=getchar();
    return x*fl;
}
inline void add(int a[],int b[]){
	int x=0,len=max(a[0],b[0]);
	rep(i,1,len){
		a[i]+=b[i]+x,x=a[i]/10000,a[i]%=10000;
	}
	if(x) a[++len]=x;
	a[0]=len;
}
int p[2009][2009],f[2009],g[2009],a[4009];//注意是4009！
int main(){
	int n=rd();
	p[0][0]=1,p[0][1]=1;
	rep(i,1,n+1) add(p[i],p[i-1]),add(p[i],p[i-1]);
	rep(i,1,n) a[2*(n-i+1)]=rd(),a[2*(n-i+1)-1]=rd();
	if(a[1]<a[2]) g[0]=1,g[1]=3,f[0]=1,f[1]=2;
	else g[0]=1,g[1]=2,f[0]=1,f[1]=3;
	int *ff=f,*gg=g;//这样可以只swap指针，swap数组是o(n)的
	rep(i,2,n){
		if(a[i*2]<a[i*2-1]) swap(ff,gg),add(ff,p[i+1]),add(gg,p[i]);//g是2 1顺序，f是1 2顺序,f[i]=g[i-1]+2^{i+1},g[i]=f[i-1]+2^i,所以swap
		else add(ff,p[i]),add(gg,p[i+1]);//g是1 2，f是2 1， 此时g相当于上面的f，f相当于上面的g，所以转移方程互换
	}
	printf("%d",gg[gg[0]]);
	for(int i=gg[0]-1;i;--i) printf("%04d",gg[i]);
}
/*
4
8 7 5 6 3 4 1 2
*/