P5470-[NOI2019]序列【模拟费用流】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5470

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题目大意

两个长度为\(n\)的序列\(a,b\)，求出它们两个长度为\(K\)的子序列，且这两个子序列至少有\(L\)个位置下标相等。

求最大化两个子序列的和。

\(T\leq 10,1\leq n\leq 2\times 10^5, \sum n\leq 10^6\)

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解题思路

先考虑一个简单的费用流做法，我们对于\(a_i\)建在左边，\(b_i\)建在右边。

然后开设一条流量为\(K-L\)的边供所有\(a_i\)连接所有\(b_i\)表示这些可以随便匹配，然后剩下的都是\(a_i\)连接\(b_i\)就好了。

但是费用流显然会\(T\)，所以考虑一下怎么模拟这个过程。

记流\(K-L\)的为自由流，其他的为限制流，我们肯定会把自由流先流满，模拟的过程就是每次选最大的两个匹配，当然如果这两个恰好是一起的就流限制流就好了。

自由流流满之后有三种操作

1. 正常流限制流，选取最大的一个两边都未匹配的流过去
2. 寻找增广路，我们肯定是会退流一条自由流匹配的，此时我们需要找到一个限制流。这里拿\(a\)举例，也就是我们需要找到匹配过的\(a_i\)且\(b_i\)未匹配，此时我们增广\(a_i->b_i\)，那么之前与\(a_i\)匹配的就需要找一个最大的\(b_i\)匹配。\(b\)同理。

但是这样会发现还是有问题，比如有时我们会出现\(a_x<->b_y,b_x<->a_y\)的情况，此时相当与从\(a_{x/y}<->b_{x/y}\)增广。

每次匹配完之后判断一下这种情况就好了。开5个堆维护即可

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define val first
#define id second
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int T,n,K,L,Free,a[N],b[N],link[N],rink[N];
priority_queue<pair<int,int> >H,Ano,Bno,Ause,Buse;
long long ans;
void Change(int x){
	if(link[x]&&rink[x]&&link[x]!=x){
		if(link[x]==rink[x])Free++;
		rink[link[x]]=rink[x];
		link[rink[x]]=link[x];
		link[x]=rink[x]=x;Free++;
	}
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(link,0,sizeof(link));
		memset(rink,0,sizeof(rink));
		while(!H.empty())H.pop();
		while(!Ano.empty())Ano.pop();
		while(!Bno.empty())Bno.pop();
		while(!Ause.empty())Ause.pop();
		while(!Buse.empty())Buse.pop();
		ans=0;
		scanf("%d%d%d",&n,&K,&L);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			H.push(mp(a[i]+b[i],i));
			Ano.push(mp(a[i],i));
			Bno.push(mp(b[i],i));
		}
		Free=K-L;
		for(int i=1;i<=K;i++){
			while(!Ano.empty()&&link[Ano.top().id])Ano.pop();
			while(!Bno.empty()&&rink[Bno.top().id])Bno.pop();
			if(Free){
				int x=Ano.top().id;
				int y=Bno.top().id;
				link[x]=y;rink[y]=x;
				Ause.push(mp(b[x],x));
				Buse.push(mp(a[y],y));
				if(x!=y)Free--;
				Change(x);Change(y);
				ans+=a[x]+b[y];
				continue;
			}
			//1. anone<->bnone
			//2. anone<->buse ause<->bnone
			//3. bnone<->ause buse<->anone
			int ans1=-1e9,ans2=-1e9,ans3=-1e9;
			while(!H.empty()&&(link[H.top().id]||rink[H.top().id]))H.pop();
			if(!H.empty())ans1=H.top().val;
			while(!Buse.empty()&&(link[Buse.top().id]||rink[Buse.top().id]==Buse.top().id))Buse.pop();
			if(!Buse.empty()&&!Bno.empty())ans2=Buse.top().val+Bno.top().val;
			while(!Ause.empty()&&(link[Ause.top().id]==Ause.top().id||rink[Ause.top().id]))Ause.pop();
			if(!Ause.empty()&&!Ano.empty())ans3=Ause.top().val+Ano.top().val;
			if(ans1>=ans2&&ans1>=ans3){
				int x=H.top().id;
				link[x]=rink[x]=x;
			}
			else if(ans2>=ans1&&ans2>=ans3){
				int x=Buse.top().id,y=Bno.top().id,z=rink[x];
				link[z]=y;rink[y]=z;Free+=(z==y);
				link[x]=rink[x]=x;
				Buse.push(mp(a[y],y));
				Change(y);Change(z);
			}
			else{
				int x=Ause.top().id,y=Ano.top().id,z=link[x];
				link[y]=z;rink[z]=y;Free+=(z==y);
				link[x]=rink[x]=x;
				Ause.push(mp(b[y],y));
				Change(y);Change(z);
			}
			ans+=max(max(ans1,ans2),ans3);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}