【LG3246】[HNOI2016]序列

题面

洛谷

题解

60pts

对于每个位置\(i\)，单调栈维护它往左第一个小于等于它的位置\(lp_i\)以及往右第一个小于它的位置\(rp_i\)。

那么在左端点在\((lp_i,i]\)，右端点在\([i,rp_i)\)的所有区间中，

区间的贡献均为\(a_i\)(之所以取等情况不一样是防止算重或算漏)。

那么对于一个询问\(L,R\)，有

\[Ans=\sum_{i=L}^R (i-max(lp_i+1,L)+1)\cdot (min(rp_i-1,R)-i+1)
\]

100pts

考虑莫队，那么我们的难点主要就是怎么从区间\([L,R]\)转移到区间\([L,R+1]\)。

用ST表查一下\([L,R+1]\)的最小值的位置\(p\)，则左端点在\([L,p]\)的区间贡献均为\(a[p]\)。

现在考虑左端点在\([p+1,R+1]\)的贡献，记一个类似于前缀和的东西\(f_i=f_{lp_i}+(i-lp_i)*a[i]\)，

则可以算出区间\([p+1,R+1]\)的贡献为\(f_{R+1}-f_p\)，因为\(f_i\)相当于求\(i\)的\(lp\)，它\(lp\)的\(lp\)...

到\(i\)的贡献，而\(p\)必为某一个转移端点，所以成立。

向\([L-1,R]\)转移同样维护一个\(g_i=g_{rp_i}+(rp_i-i)*a[i]\)。

减法直接减去一个位置对区间的贡献即可。

代码

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

using namespace std;

inline int gi() {

    register int data = 0, w = 1;

    register char ch = 0;

    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();

    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();

    while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();

    return w * data;

}

typedef long long ll;

const int MAX_N = 1e5 + 5;

const int LEN = 320;

int N, Q, a[MAX_N], bel[MAX_N];

struct Query { int l, r, id; } q[MAX_N], tmp[MAX_N];

bool operator < (const Query &lhs, const Query &rhs) {

	if (bel[lhs.l] == bel[rhs.l]) return (bel[lhs.l] & 1) ? lhs.r < rhs.r : lhs.r > rhs.r;

	else return bel[lhs.l] < bel[rhs.l];

}

int stk[MAX_N], top, lp[MAX_N], rp[MAX_N];

int st[18][MAX_N], bin[18], lg[MAX_N];

int query(int l, int r) {

	int k = lg[r - l + 1];

	if (a[st[k][l]] < a[st[k][r - bin[k] + 1]]) return st[k][l];

	else return st[k][r - bin[k] + 1];

}

ll L[MAX_N], R[MAX_N], ans[MAX_N], Ans;

ll Ladd(int l, int r) {

	int p = query(l - 1, r);

	return 1ll * a[p] * (r - p + 1) + R[l - 1] - R[p];

}

ll Radd(int l, int r) {

	int p = query(l, r + 1);

	return 1ll * a[p] * (p - l + 1) + L[r + 1] - L[p];

} 

int main () {

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("cpp.in", "r", stdin);

	freopen("cpp.out", "w", stdout);

#endif

	N = gi(), Q = gi();

	for (int i = 1; i <= N; i++) a[i] = gi();

	for (int i = 1; i <= N; i++) bel[i] = (i - 1) / LEN + 1;

	bin[0] = 1; for (int i = 1; i <= 17; i++) bin[i] = bin[i - 1] << 1;

	for (int i = 2; i <= N; i++) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;

	for (int i = 1; i <= N; i++) st[0][i] = i;

	for (int i = 1; bin[i] <= N; i++)

		for (int j = 1; j + bin[i] - 1 <= N; j++)

			if (a[st[i - 1][j]] < a[st[i - 1][j + bin[i - 1]]]) st[i][j] = st[i - 1][j];

			else st[i][j] = st[i - 1][j + bin[i - 1]];

	for (int i = 1; i <= Q; i++) {

		int l = gi(), r = gi();

		q[i] = (Query){l, r, i};

	}

	sort(&q[1], &q[Q + 1]);

	stk[0] = 0;

	for (int i = 1; i <= N; i++) {

		while (a[stk[top]] >= a[i] && top) --top;

		lp[i] = stk[top], stk[++top] = i;

	}

	top = 0, stk[0] = N + 1;

	for (int i = N; i >= 1; i--) {

		while (a[stk[top]] > a[i] && top) --top;

		rp[i] = stk[top], stk[++top] = i;

	}

	for (int i = 1; i <= N; i++) L[i] = L[lp[i]] + 1ll * (i - lp[i]) * a[i];

	for (int i = N; i >= 1; i--) R[i] = R[rp[i]] + 1ll * (rp[i] - i) * a[i];

	int ql = 1, qr = 0;

	for (int i = 1; i <= Q; i++) {

		while (qr < q[i].r) ++qr, Ans += Radd(ql, qr - 1);

		while (ql < q[i].l) Ans -= Ladd(ql + 1, qr), ++ql;

		while (ql > q[i].l) --ql, Ans += Ladd(ql + 1, qr);

		while (qr > q[i].r) Ans -= Radd(ql, qr - 1), --qr;

		ans[q[i].id] = Ans;

	}

	for (int i = 1; i <= Q; i++) printf("%lld\n", ans[i]);

    return 0;

}