SGU495 Kids andPrices[期望DP]

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\(\mathcal{Description}\)
有\(n\)个格子，每次等概率随机给一个格子染色，问涂\(m\)次后期望有多少格子被染色了

\(\mathcal{Solution}\)
设\(f[i]\)表示涂\(i\)次后期望有多少格子被染色了
现在进行第\(i\)次染色，有两种情况

1. 有\(\frac{f[i-1]}{n}\)的概率涂到已经涂过的格子
2. 有\(\frac{n-f[i-1]}{n}\)的概率涂到没涂过的格子

需要注意的是，无论是以上哪种，都已经有\(f[i-1]\)个格子被染色了
所以有
\(f[i]=\frac{f[i-1]}{n}·0+\frac{n-f[i-1]}{n}·1+f[i-1]\)
将其化简
\(f[i]=\frac{n-f[i-1]}{n}+f[i-1]=\frac{n-1}{n}f[i-1]+1\)
此时该式就是一个等差数列套等比数列
于是我们可以求其通项公式，博主懒得求了写下大致过程

令\(k=\frac{n-1}{n}\)
\(f_n=kf_{n-1}+1\)
\(f_n+\frac{1}{k-1}=kf_{n-1}+\frac{k}{k-1}\)
\(f_n+\frac{1}{k-1}=k(f_{n-1}+\frac{1}{k-1})\)
令\(g_n=f_n+\frac{1}{k-1}\)
则\(g_n=kg_{n-1}\)
怎么求\(g_n\)就不用说了吧
\(f_n=g_n-\frac{1}{k-1}\)
\(f_n\)也能求出来了

初值\(f[0]=0\)答案为\(f[m]\)
应正向循环

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