矩阵的五种分解的matlab实现

由于这学期修了矩阵分析这门课，课程要求用matlab实现矩阵的5种分解，仅仅是实现了分解，上传到博客存档，万一哪天某位同学就需要了呢。。

1.矩阵的满秩分解

• 代码实现

 1 %矩阵的满秩分解
 clear
 %设输入矩阵为M（P152 例4.1.1）
 A = [1,4,-1,5,6;
     2,0,0,0,-14;
     -1,2,-4,0,1;
     2,6,-5,5,-7]
 A1 = rref(A);    %将矩阵A化成行最简形式保存在A1中
 [m,n]=size(A);    %获取矩阵A的大小：m行n列
 B0= [];%生成一个空向量
 C0= [];%生成一个空向量
 for i=1:m    %依次扫描矩阵m行
    flag=1;
    for j=1:n    %依次扫描矩阵n列
        if A1(i,j)==1    %若A1(i, j)等于1
            for k=1:i-1        %固定j列，扫描此列的第1行到i-1行元素
                if A1(k,j)~=0    %判断是否全为0
                    flag=0;    %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）
                    break;
                end
            end
            for k=i+1:m        %固定j列，扫描此列的第i+1行到m行（即最后一行）元素
                if A1(k,j)~=0    %判断是否全为0
                    flag=0;    %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）
                    break;
                end
            end
            if flag==1         %若flag为1（不为0），则说明此列是【矩阵的行最简形式矩阵】的单位矩阵的列
                B0=[B0,A(:,j)];    %将矩阵A的j列加到B0列向量之后
                C0=[C0;A1(i,:)];    %将矩阵A1的i行加到C0行向量之后，
            end
        end
    end
 end
 [m1,n1]=size(B0);    %获取矩阵B0的大小：m1行n1列
 [m2,n2]=size(C0);    %获取矩阵C0的大小：m2行n2列
 B=B0(:,1:n1)        %将矩阵B0的第1列到最后一列赋值给矩阵B
 C=C0(1:m2,:)        %将矩阵C0的第1行到最后一行赋值给矩阵C
 %验证：BC=A
 A_1= B*C

2.矩阵的正交三角分解

• 代码实现

直接调用matlab自带qr()函数即可

 %矩阵的正交三角分解
 clear;
 A = [-3,1,-2;1,1,1;1,-1,0;1,-1,1]
 [Q, R] = qr(A) %正交三角分解，Q为酉矩阵，R为正交下三角矩阵
 %验证:QR是否为A，以及Q是否为酉矩阵
 A_1 = Q * R
 Q_1 = Q * conj(Q.')

3.矩阵的奇异值分解

• 代码实现

 %矩阵的奇异值分解
 clear,clc
 A = [1,1;0,0;1,1];
 [U,S,V] = svd(A) %返回一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足A= U*S*V~H。
                  %若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

 %验证A=USV~H
 A = [1,1;0,0;1,1]
 A_1 = U*S*conj(V.') 

4.矩阵的极分解

• 代码实现

 %矩阵的极分解
 clear,clc;
 A = [2,1,2;0,1,3;1,0,0];
 H1 = sqrtm(A*A') %返回矩阵的主要平方根
 U1 = inv(H1)*A %求逆
 A_1 = H1*U1
 H2 = sqrtm(A)
 U2 = A*inv(H2)
 A_2 = U2*H2

5.矩阵的谱分解

以正规矩阵为例：

• 代码实现

 %矩阵的谱分解
 clear,clc
 A = [4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1]; %单纯矩阵
 %A = [-2i,4,-2;-4,-3i,-3i;2,-2i,-5i]; %正规矩阵
 [V,D] = eig(A) %求特征值与特征向量

 %正交归一化
 V_C = orth(V) ;%特征向量正交化
 V_C_Z = V_C./repmat(sqrt(sum(V_C.^2,1)),size(V_C,1),1); %特征向量列归一化

 A_H = A * conj(A');%求A的共轭转置
 if A == A_H | A == -(A_H)  %判断是否是正规矩阵
     [m,n] = size(V_C_Z);
     G2 = zeros(m,n);
     for i=1:n
         G1 = V_C_Z(:,i) * conj(V_C_Z');
         G2 = G2 + D(i, i) * G1;
     end
     G_Z = G2
 else  %否则是单纯矩阵
     P_1 = (inv(V))';
     [m,n] = size(P_1);
     G3 = zeros(m,n);
     for i=1:n
         G4 = V(:,i) * (P_1(:,i))';
         G3 = G3 + D(i,i)* G4;
     end
     G_R = G3
 end

 PS：满秩分解的参考地址记不住了，这里就不备注了，仅仅出于学习的目的，不喜勿喷。