Robots 2019南京网络赛 （概率dp）

Robots

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\]

题意

有一个机器人要从 \(1\) 点走到 \(n\) 点，每走一步都需要一天，并且这一步的代价是已经经过的天数。

思路

将问题拆成两个问题，\(dp1[i]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 的天数期望，\(dp2[i]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 的代价期望。

那么就很容易得到

\[dp1[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp1[v]) + dp1[u]}{u.size()+1} + 1\\
dp1[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp1[v]) + u.size()+1}{u.size()} \\
dp2[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp2[v]) + dp2[u]}{u.size()+1} + dp1[u]\\
dp2[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp2[v]) + (u.size()+1)*dp1[u]}{u.size()}
\]

/***************************************************************
    > File Name    : a.cpp
    > Author       : Jiaaaaaaaqi
    > Created Time : Mon 09 Sep 2019 10:07:54 PM CST
 ***************************************************************/

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cfloat>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define  lowbit(x)  x & (-x)
#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
#define  fi         first
#define  se         second
#define  pb         push_back
#define  pii        pair<int, int>

typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int    maxn = 1e5 + 10;
const int    maxm = 1e5 + 10;
const ll     mod  = 1e9 + 7;
const ll     INF  = 1e18 + 100;
const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
const double pi   = acos(-1.0);
const double eps  = 1e-8;
using namespace std;

int n, m;
int cas, tol, T;

vector<int> vv[maxn], rv[maxn];
int ind[maxn];
double dp1[maxn], dp2[maxn];

void solve() {
	queue<int> q;
	dp1[n] = dp2[n] = 0;
	q.push(n);
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		if(u != n) {
			int sz = rv[u].size();
			{
				double ans = 0;
				for(auto v : rv[u]) {
					ans += dp1[v];
				}
				dp1[u] = 1.0*(ans+sz+1)/sz;
			}
			{
				double ans = 0;
				for(auto v : rv[u]) {
					ans += dp2[v];
				}
				dp2[u] = 1.0*(ans+1.0*(sz+1)*dp1[u])/sz;
			}
		}
		for(auto v : vv[u]) {
			ind[v]--;
			if(ind[v] == 0)	q.push(v);
		}
	}
}

int main() {
	// freopen("in", "r", stdin);
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			vv[i].clear();
			rv[i].clear();
			dp1[i] = dp2[i] = 0;
		}
		for(int i=1, x, y; i<=m; i++) {
			scanf("%d%d", &x, &y);
			rv[x].pb(y);
			vv[y].pb(x);
			ind[x]++;
		}
		solve();
		printf("%.2f\n", dp2[1]);
	}
	return 0;
}