CF [2016-2017 ACM-ICPC CHINA-Final][GYM 101194 H] Great Cells

很久以前做的一道思博题了，今天来补一补。

大致题意：在一个\(n*m\)的矩阵内填整数，数字在\([1,k]\)范围内。矩阵中某格的数为great number当且仅当与它同行同列的数字都严格比它小。记\(A_g\)为矩阵中恰有\(g\)个great number的填数方案数，求\(\sum_{g=0}^{nm}(g+1)\cdot A_g\)。(\(n,m,k\le200\))

首先我们可以看出，上界必定是\(min(n,m)\)，这个不解释了吧

而又有一个性质，\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} A_g=K^{nm}\)。即所有的great number方案数等于总填数方案数

所以我们拆出\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} A_g\)于是只需要考虑如何构造出\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} g\cdot A_g\)

我们还是回头再看一眼题面，\(g\)究竟是什么：

记\(A_g\)为矩阵中恰有\(g\)个great number的填数方案数

那么每一个great number在该方案下都对答案贡献\(1\)

还不懂？再转化一步，也就是每个格子上的数为great number的方案数之和

这就是\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} g\cdot A_g=nm\cdot\sum_{i=2}^k (i-1)^{n+m-2}\cdot k^{(n-1)\cdot (m-1)}\)

然后各种乱搞就可以了

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int t,n,m,k,ans;
inline char tc(void)
{
	static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
	return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
	x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
	while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
}
inline int quick_pow(int x,int p)
{
	long long tot=1;
	while (p)
	{
		if (p&1) tot=tot*1LL*x%mod;
		x=1LL*x*x%mod; p>>=1;
	}
	return (int)tot;
}
inline void inc(int &x,int y)
{
	if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
int main()
{
	//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
	register int i,j; read(t);
	for (i=1;i<=t;++i)
	{
		read(n); read(m); read(k);
		for (ans=0,j=2;j<=k;++j)
		inc(ans,1LL*quick_pow(j-1,n+m-2)*quick_pow(k,n*m-n-m+1)%mod);
		ans=(1LL*ans*n*m)%mod; inc(ans,quick_pow(k,n*m));
		printf("Case #%d: %d\n",i,ans);
	}
	return 0;
}