CDQZ.OPENJUDGE DataStructure22

　　我觉得这是很重要的一些题目。它们都在这里：硕巨结构

Challenge 0：给定数列，单点修改，单点查询修改。煞有介事，不过一数组耳。

Challenge 1：给定数列，单点修改，单点查询第k次操作后的值。当时写了链表，显然可以被卡。lemonoil说写主席树才是正道，其实不然。使用vector<pair<int,int> > ...[n]就可以了。插入显然都是有序的，查询直接二分就好了。

Challenge 2：数列最开始是空的，允许在最后插入一个数，单点询问，或撤销若干次操作（包括撤销与插入操作）。主席树很好写，主要是考察对“撤销”的理解（最开始就是不懂“撤销”，以为是直接把顶上的东西丢了）。其实不管插入还是撤销，总的操作数都加了1。而插入是基于前一次操作再加入一个数，而撤销是把若干次以前的再搬回顶上。使用一个len来辅助维护数列的长度。

Challenge 3：给定数列，单点修改，区间查询和。树状数组就好了，不必写线段树。

Challenge 4：给定数列，单点修改，区间查询相邻两数乘积和，区间查询任意两数乘积和，%1e9+7。记得这个当时调了很久很绝望，但最后发现错误很小很微不足道，就是所有单点的值都应该%MOD+MOD%MOD。因为如果不把这些数标准化，得到的也不会是标准的结果。而当时写struct写的很痛苦，后面写的直接把pair给typedef了，再加上预带的merge函数下面就可以变得很清新。这种套路也出现再IDY4月份的有序链剖中。

Challenge 5：给定数列，区间修改成同一个数，区间查询和。线段数的模板题，看似很简单。但就是这样的题目也是有坑点的。因为修改成的数可以为所欲为，所以常规状态下的什么-1就是大错特错了。要么再加一个bool变量，要么让flag的初始值变成绝对不可能取到的值。

Challenge 6：这道题目就是BZOJ2957楼房重建。IDY4月份当时还考过这道题目的进阶版本：单点修改，区间询问。首先，每个线段存的是区间最大值与区间可以看见的数目。而又有一个很重要的内函数，询问一个线段中高度>h的楼房数，也是二分（或分治）递归单次O(lgn)，中间还是很有机巧的（充分利用题目性质）。这个东西在query和update都用得很多，于是整个是O(nlg²n)的。

　　而全局询问和区间询问的差别在哪里？对于后者，IDY的做法是把覆盖线段通通fetch出来再for一遍；而QJX告诉我，其实直接搞就是了。对于跨中点的询问，先处理左边，修正一下影响再处理右边，好像有一点CDQ的意思。

　　而此题其实可以区间修改。区间修改包括区间修改为同一个值和区间同增同减，我通常的做法是使用“kill”来打扫干净屋子再请客，而中间的顺序是很有意思的。最后写出来很长，大概可以用来考后来人了。

　　另外，此题使用分块也是可以的。

Challenge 7：给定数列，单点修改，询问一个数出现的次数。使用map可以过，但最开始使用multiset却稳稳的TLE。先以为是count过慢（但count确实非常慢），但直到做完Challenge 8才知道是为什么。

　　但COUNT确实很慢，我在自己的机子上试了一下这段代码：

 #include <cstdio>
 #include <set>
 #include <ctime>

 std::multiset<int> st;
 int main() {
     for( int i = , j; i <= ; i++ ) {
         if(i%==) printf("%d %d\n",i,clock());
         st.insert();j=st.count();
     }
     printf("%d\n",clock());
 ｝

　　得出了这样一张表：

进行n次插入与count	时间（ms）
1000	5
5000	101
10000	407
20000	1631
40000	6708
60000	15261
80000	28005
100000	43916

Challenge 8：给定一个集合，允许删除或插入数（不可重），询问集合中任意两数差绝对值的最小值。使用1个set存数字，1个multiset存答案。中间有曾经XGG那道巡游和YALI那道容斥集合的影子。但是最开始交上去直接TLE了，本地测试发现插入仅10000个数就会TLE，再排查就发现去掉lower_bound速度会快上很多很多很多倍。于是整个人迷惑了，不是O(logn)的么？在网上查，找到了一篇很好的博客：std::set::lower_bound与std::lower_bound的效率问题。长见识了，所以不应该std::lower_bound(st.begin(),st.end(),...)了，而是应该st.lower_bound(...)啊。

Challenge 9：给定数列，单点删除，询问单点。典型的简单平衡树。

Challenge 10：给定数列，单点修改，询问全局第k大。使用值域线段树或是平衡树。值域线段树需要注意对边界的处理（就像cheese那样虽然最后数据很水），使用-0x7fffffff~0x7fffffff是1000ms，使用0~0xfffffffe用unsigned大概快50~100ms。而平衡树可以不用建新节点，把原来的取出来，让它变成叶子结点（我在做phalanx的时候就是忘了改它的左右儿子和siz），再插回去。快得多，只要了380ms，但代码长度大约90行比线段树多一半。

Challenge 11：简单主席树。ZJC说可以用“可持久化树状数组”。

Challenge 12：经典题目。区间第k大无修改无插入。使用树状数组+线段树固然可以，但毕竟是O(nlog²n)的，时间4159ms，空间也大的吓人（开始就是空间开小了RE）。只使用主席树虽然无法修改，但复杂度就是O(nlogn)的了，时间1048ms。如果使用莫队，因为还是需要辅助数据结构，而O(nsqrtnlogn)素来是跑不过100000的。但是，这样就完了？不不不。还有一种神方法。使用区间线段树，每个线段一个vector，build的时候自下向上进行归并。查询的时候把log个线段搞出来，外面二分答案，内部for一遍加上upperbound。看上去是O(nlg³n)的，但其实就应该是O(nlg³n)的。但是数据如果强度不够高，水过去还是可以的。