前言

Leetcode中有一道这样的题:给定两个整数,被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除,要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

如果正常的四则运算符号不允许使用,呢这道题的考点我觉得应该是位运算来实现,遇到了就好好复习一下,下面将介绍二进制实现四则运算:

二进制码

位运算是基于二进制运算的,实际上目前的计算机都只识别二进制码,我们所写的一切指令事实上都是一串010101数字、传输数据也是按比特流的形式传输的。所以先介绍二进制码:

原码

最高位表示符号位(0代表正数,1代表负数)。剩下的位数,是这个数的绝对值的二进制。

比如 一个int变量大小为4字节,在32位的编译器中的二进制表示就是00000000 00000000 00000000 0000000

10 的原码  00000000 00000000 00000000 00001010
−10的原码 10000000 00000000 00000000 00001010

反码

正数的反码和其原码是一样的

负数的反码就是在其原码的基础上 符号位不变 其他位取反。

10的反码:  00000000 00000000 00000000 00001010
−10的反码:11111111 11111111 11111111 11110101

补码

正数的补码就是其原码

负数的补码就是在其反码的基础上+1

10的补码:00000000 00000000 0000000 00001010
−10的补码:11111111 11111111 11111111 11110110

在计算机系统中,数值一律用补码来表示:因为补码可以是符号位和数值位统一处理,同时可以试减法按照加法来处理。

位运算加法

0111 ^ 0101 = 0010; //结果的每一位等于对应位相加模二,刚好是不带进位的加法结果。
0111 & 0101 = 0101; //结果的1表示对应位相加为2,0表示对应位相加小于二,刚好是进位标识。

所以有:

int add(int a, int b)
{
return (b == 0) ? a : add(a^b, (a&b) << 1);
}

位运算减法

减法其实就是加上这个数的相反数,这个数原来是用正数的补码表示的,现在变成负数的补码形式了:所以只需要将这个数每一位取反再末尾家一就行了:

int subtraction(int a, int b)
{
b = add(~b, 1);
return add(a, b);
}

位运算乘法

对于a * b,每次只需要将a左移一位乘上b的对应位,然后同上一次的结果做加法即可。

当b的对应位为1时,对a左移一位然后同上一次的结果做加法;如果b的对应位为0,只对a左移一位。

int getsign(int n)
{
return n >> 31;
} int positive(int n)
{
return (getsign(n) & 1) ? add(~n,1): n;
} int multiply(int a, int b)
{
bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;
a = positive(a);
b = positive(b); int res = 0;
while (b) {
if (b & 1)
res = add(res, a); //只有当前b末尾为1时才运算
a = a << 1;
b = b >> 1;
}
if (flag)
add(~res, 1); return res;
}

位运算除法

同乘法一样,除法也可以进行二进制笔算,以a / b为例,只有当a >= b时才可以上商,又因为是二进制,所以商每次只会多1,在每次上1之后a都要减去一次b。

int divide(int a, int b)
{
if (b == 0)
throw runtime_error("DIVIDED CANNOT BE 0"); bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;
a = positive(a);
b = positive(b); int res = 0;
while (a >= b)
{
res = add(res, 1);
a = subtraction(a, b);
}
return flag ? add(~res, 1) : res;
}

总代码如下:

int add(int a, int b)
{
return (b == 0) ? a : add(a^b, (a&b) << 1);
} int subtraction(int a, int b)
{
b = add(~b, 1);
return add(a, b);
} int getsign(int n)
{
return n >> 31;
} int positive(int n)
{
return (getsign(n) & 1) ? add(~n,1): n;
} int multiply(int a, int b)
{
bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;
a = positive(a);
b = positive(b); int res = 0;
while (b) {
if (b & 1)
res = add(res, a); //只有当前b末尾为1时才运算
a = a << 1;
b = b >> 1;
}
if (flag)
add(~res, 1); return res;
} int divide(int a, int b)
{
if (b == 0)
throw runtime_error("DIVIDED CANNOT BE 0"); bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;
a = positive(a);
b = positive(b); int res = 0;
while (a >= b)
{
res = add(res, 1);
a = subtraction(a, b);
}
return flag ? add(~res, 1) : res;
}

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