【洛谷3232】[HNOI2013] 游走（贪心+高斯消元）

点此看题面

大致题意： 一个无向连通图，小\(Z\)从\(1\)号顶点出发，每次随机选择某条边走到下一个顶点，并将\(ans\)加上这条边的编号，走到\(N\)号顶点时结束。请你对边进行编号，使总分期望值最小。

一个贪心的思想

由于贪心的思想，我们肯定是给期望访问次数最大的边编号为\(1\)，第二大的编号为\(2\)，第三大的编号为\(3\)，以此类推。

那么我们应该怎么求出边的期望呢？

由于边的期望可以由点的期望转化得来，因此只要求出了点的期望，就能求出边的期望。

那么怎么求出点的期望呢？

这时就需要用高斯消元了。

如何求出点的期望

下面是一张无向图。

如果我们用\(S_i\)来表示编号为\(i\)的节点被经过的期望次数，那么显然：

\[S_1=\frac{S_2}5+\frac{S_3}3+\frac{S_4}3+\frac{S_5}2+\frac{S_6}3+1
\]

即编号为\(x\)的点的期望\(S_x= \sum \frac{S_i}{deg_i}\)，其中\(i\)为与\(x\)有边相连的节点。

像这样，我们可以将每一个点的期望都用其他点的期望来表示。

还是以\(S_1\)为例，我们可以将这个式子移项：

\[S_1-\frac{S_2}5-\frac{S_3}3-\frac{S_4}3-\frac{S_5}2-\frac{S_6}3=1
\]

将每个式子都进行这样的转换之后，就可以通过高斯消元来求解出每一个\(S_i\)。

其中要注意的是，每一个式子中\(S_n\)的系数皆为\(0\)（因为游走在走到\(n\)号节点时结束），且第\(1\)个式子等号右边的值为\(1\)（因为游走从\(1\)号节点开始），而其他式子等号右边的值皆为\(0\)。

从点的期望到边的期望

接下来的问题是，如何通过点的期望求出边的期望。

设\(E_i\)表示编号为\(i\)的边被经过的期望次数，且编号为\(i\)的边连接的两个节点为\(x_i\)和\(y_i\)，由于期望的性质，我们可以得到：

\[E_i=\frac{S_{x_i}}{deg_{x_i}}+\frac{S_{y_i}}{deg_{y_i}}
\]

这样就可以轻松求出每条边的期望了。

然后，按照开头所述的贪心思想，就能轻松求解该题了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define Fsize 100000
#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
#define N 500
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].from=x,e[ee].to=y,++deg[x])
char Fin[Fsize],*FinNow=Fin,*FinEnd=Fin;
using namespace std;
const double eps=1e-15;
int n,m,ee=0,lnk[N+5],deg[N+5];
struct edge
{
    int from,to,nxt;
    double val;
}e[N*N+5];
inline bool cmp(edge x,edge y)
{
    return x.val-y.val>eps;
}
struct Gauss//高斯消元
{
    double a[N+5][N+5],s[N+5];
    inline void GetDataA(int x,int y,double v) {a[x][y]+=v;}
    inline void GetDataS(int x,double v) {s[x]=v;}
    inline void FindLine(int x)
    {
        register int i=x,j;register double t;
        while(fabs(a[i][x])<eps) ++i;
        for(t=s[i],s[i]=s[x],s[x]=t,j=1;j<=n;++j) t=a[i][j],a[i][j]=a[x][j],a[x][j]=t;
    }
    inline double GetAns()
    {
        register int i,j,k;register double delta,ans=0;
        for(i=1;i<n-1;++i)
        {
            FindLine(i);
            for(j=i+1;j<n;++j) for(s[j]+=(delta=-a[j][i]/a[i][i])*s[i],k=1;k<=n;++k) a[j][k]+=delta*a[i][k];
        }
        for(i=n-1;i;--i)
        for(s[i]/=a[i][i],j=i-1;j;--j) s[j]-=a[j][i]*s[i];
        for(i=2;i<=ee;++(++i)) e[i].val=s[e[i].from]/deg[e[i].from]+s[e[i].to]/deg[e[i].to];
        for(sort(e+1,e+ee+1,cmp),i=1;i<=ee;++i) ans+=e[i].val*i;
        return ans;
    }
}S;
inline void read(int &x)
{
    x=0;static char ch;
    while(!isdigit(ch=tc()));
    while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,isdigit(ch=tc()));
}
int main()
{
    register int i,j,x,y;
    for(read(n),read(m),i=1;i<=m;++i) read(x),read(y),add(x,y),add(y,x);
    for(i=1;i<n;++i) for(S.GetDataA(i,i,1),j=lnk[i];j;j=e[j].nxt) if(e[j].to^n) S.GetDataA(i,e[j].to,-1.0/deg[e[j].to]);//根据上面推导出的式子，初始化高斯消元的式子
    return S.GetDataS(1,1),printf("%.3lf",S.GetAns()),0;//得出答案并输出
}