【洛谷3232】[HNOI2013] 游走（贪心+高斯消元）

点此看题面

大致题意： 一个无向连通图，小$Z$从$1$号顶点出发，每次随机选择某条边走到下一个顶点，并将$ans$加上这条边的编号，走到$N$号顶点时结束。请你对边进行编号，使总分期望值最小。

一个贪心的思想

由于贪心的思想，我们肯定是给期望访问次数最大的边编号为$1$，第二大的编号为$2$，第三大的编号为$3$，以此类推。

那么我们应该怎么求出边的期望呢？

由于边的期望可以由点的期望转化得来，因此只要求出了点的期望，就能求出边的期望。

那么怎么求出点的期望呢？

这时就需要用高斯消元了。

如何求出点的期望

下面是一张无向图。

如果我们用$S_i$来表示编号为$i$的节点被经过的期望次数，那么显然：

\[S_1=\frac{S_2}5+\frac{S_3}3+\frac{S_4}3+\frac{S_5}2+\frac{S_6}3+1
\]

即编号为$x$的点的期望$S_x= \sum \frac{S_i}{deg_i}$，其中$i$为与$x$有边相连的节点。

像这样，我们可以将每一个点的期望都用其他点的期望来表示。

还是以$S_1$为例，我们可以将这个式子移项：

\[S_1-\frac{S_2}5-\frac{S_3}3-\frac{S_4}3-\frac{S_5}2-\frac{S_6}3=1
\]

将每个式子都进行这样的转换之后，就可以通过高斯消元来求解出每一个$S_i$。

其中要注意的是，每一个式子中$S_n$的系数皆为$0$（因为游走在走到$n$号节点时结束），且第$1$个式子等号右边的值为$1$（因为游走从$1$号节点开始），而其他式子等号右边的值皆为$0$。

从点的期望到边的期望

接下来的问题是，如何通过点的期望求出边的期望。

设$E_i$表示编号为$i$的边被经过的期望次数，且编号为$i$的边连接的两个节点为$x_i$和$y_i$，由于期望的性质，我们可以得到：

\[E_i=\frac{S_{x_i}}{deg_{x_i}}+\frac{S_{y_i}}{deg_{y_i}}
\]

这样就可以轻松求出每条边的期望了。

然后，按照开头所述的贪心思想，就能轻松求解该题了。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))

#define LL long long

#define ull unsigned long long

#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)

#define Fsize 100000

#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)

#define N 500

#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].from=x,e[ee].to=y,++deg[x])

char Fin[Fsize],*FinNow=Fin,*FinEnd=Fin;

using namespace std;

const double eps=1e-15;

int n,m,ee=0,lnk[N+5],deg[N+5];

struct edge

{

    int from,to,nxt;

    double val;

}e[N*N+5];

inline bool cmp(edge x,edge y)

{

    return x.val-y.val>eps;

}

struct Gauss//高斯消元

{

    double a[N+5][N+5],s[N+5];

    inline void GetDataA(int x,int y,double v) {a[x][y]+=v;}

    inline void GetDataS(int x,double v) {s[x]=v;}

    inline void FindLine(int x)

    {

        register int i=x,j;register double t;

        while(fabs(a[i][x])<eps) ++i;

        for(t=s[i],s[i]=s[x],s[x]=t,j=1;j<=n;++j) t=a[i][j],a[i][j]=a[x][j],a[x][j]=t;

    }

    inline double GetAns()

    {

        register int i,j,k;register double delta,ans=0;

        for(i=1;i<n-1;++i)

        {

            FindLine(i);

            for(j=i+1;j<n;++j) for(s[j]+=(delta=-a[j][i]/a[i][i])*s[i],k=1;k<=n;++k) a[j][k]+=delta*a[i][k];

        }

        for(i=n-1;i;--i)

        for(s[i]/=a[i][i],j=i-1;j;--j) s[j]-=a[j][i]*s[i];

        for(i=2;i<=ee;++(++i)) e[i].val=s[e[i].from]/deg[e[i].from]+s[e[i].to]/deg[e[i].to];

        for(sort(e+1,e+ee+1,cmp),i=1;i<=ee;++i) ans+=e[i].val*i;

        return ans;

    }

}S;

inline void read(int &x)

{

    x=0;static char ch;

    while(!isdigit(ch=tc()));

    while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,isdigit(ch=tc()));

}

int main()

{

    register int i,j,x,y;

    for(read(n),read(m),i=1;i<=m;++i) read(x),read(y),add(x,y),add(y,x);

    for(i=1;i<n;++i) for(S.GetDataA(i,i,1),j=lnk[i];j;j=e[j].nxt) if(e[j].to^n) S.GetDataA(i,e[j].to,-1.0/deg[e[j].to]);//根据上面推导出的式子，初始化高斯消元的式子

    return S.GetDataS(1,1),printf("%.3lf",S.GetAns()),0;//得出答案并输出

}