【bzoj2238】Mst 最小生成树+树链剖分+线段树

题目描述

给出一个N个点M条边的无向带权图，以及Q个询问，每次询问在图中删掉一条边后图的最小生成树。(各询问间独立，每次询问不对之后的询问产生影响，即被删掉的边在下一条询问中依然存在)

输入

第一行两个正整数N,M(N<=50000,M<=100000)表示原图的顶点数和边数。

下面M行，每行三个整数X,Y,W描述了图的一条边(X,Y)，其边权为W（W<=10000）。保证两点之间至多只有一条边。

接着一行一个正整数Q，表示询问数。(1<=Q<=100000)

下面Q行，每行一个询问，询问中包含一个正整数T，表示把编号为T的边删掉(边从1到M按输入顺序编号)。

输出

Q行，对于每个询问输出对应最小生成树的边权和的值，如果图不连通则输出“Not connected”

样例输入

4 4
1 2 3
1 3 5
2 3 9
2 4 1
4
1
2
3
4

样例输出

15
13
9
Not connected

---

题解

最小生成树+树链剖分+线段树

首先考虑，不在最小生成树上的边，去掉后都可以选择最小生成树。

然后如果删掉在最小生成树上的边，那么去掉后，原有的树边一定不变，新添加的一定是能够构成一棵树的非树边。

于是先求出最小生成树，然后看每条非树边能够使多少条树边删去后连通。显然是树链上的边。

所以可以使用树链剖分+线段树的方法实现：使一条链上所有边权值对某值取min、查询某条边的权值。此时需要把边权放到深度更大的那个端点的点权上。

时间复杂度$O(n\log^2n)$，代码中使用了永久化标记。

注意：如果原图就是不连通的，那么每个询问的结果都应是“Not connected”。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 50010
#define lson l , mid , x << 1
#define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1
using namespace std;
struct data
{
	int x , y , z , id;
	bool vis;
}a[N << 1];
int f[N] , head[N] , to[N << 1] , val[N << 1] , next[N << 1] , cnt , ref[N << 1] , fa[N] , deep[N] , si[N] , bl[N] , pos[N] , tot , mn[N << 2] , n;
bool cmp1(const data &a , const data &b)
{
	return a.z < b.z;
}
bool cmp2(const data &a , const data &b)
{
	return a.id < b.id;
}
int find(int x)
{
	return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
void add(int x , int y , int z)
{
	to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs1(int x)
{
	int i;
	si[x] = 1;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa[x])
			fa[to[i]] = x , deep[to[i]] = deep[x] + 1 , ref[val[i]] = to[i] , dfs1(to[i]) , si[x] += si[to[i]];
}
void dfs2(int x , int c)
{
	int i , k = 0;
	bl[x] = c , pos[x] = ++tot;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa[x] && si[to[i]] > si[k])
			k = to[i];
	if(k)
	{
		dfs2(k , c);
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
			if(to[i] != fa[x] && to[i] != k)
				dfs2(to[i] , to[i]);
	}
}
void update(int b , int e , int a , int l , int r , int x)
{
	if(b <= l && r <= e)
	{
		mn[x] = min(mn[x] , a);
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(b <= mid) update(b , e , a , lson);
	if(e > mid) update(b , e , a , rson);
}
int query(int p , int l , int r , int x)
{
	if(l == r) return mn[x];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) return min(mn[x] , query(p , lson));
	else return min(mn[x] , query(p , rson));
}
void modify(int x , int y , int v)
{
	while(bl[x] != bl[y])
	{
		if(deep[bl[x]] < deep[bl[y]]) swap(x , y);
		update(pos[bl[x]] , pos[x] , v , 1 , n , 1) , x = fa[bl[x]];
	}
	if(deep[x] > deep[y]) swap(x , y);
	if(x != y) update(pos[x] + 1 , pos[y] , v , 1 , n , 1);
}
int main()
{
	int m , q , i , sum = 0 , x , v , c = 0;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &a[i].x , &a[i].y , &a[i].z) , a[i].id = i;
	sort(a + 1 , a + m + 1 , cmp1);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) f[i] = i;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
		if(find(a[i].x) != find(a[i].y))
			sum += a[i].z , a[i].vis = 1 , add(a[i].x , a[i].y , a[i].id) , add(a[i].y , a[i].x , a[i].id) , f[f[a[i].x]] = f[a[i].y] , c ++ ;
	if(c < n - 1)
	{
		scanf("%d" , &q);
		while(q -- ) puts("Not connected");
		return 0;
	}
	dfs1(1) , dfs2(1 , 1);
	memset(mn , 0x3f , sizeof(mn));
	sort(a + 1 , a + m + 1 , cmp2);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
		if(!a[i].vis)
			modify(a[i].x , a[i].y , a[i].z);
	scanf("%d" , &q);
	while(q -- )
	{
		scanf("%d" , &x);
		if(!a[x].vis) printf("%d\n" , sum);
		else
		{
			v = query(pos[ref[x]] , 1 , n , 1);
			if(v == 0x3f3f3f3f) puts("Not connected");
			else printf("%d\n" , sum - a[x].z + v);
		}
	}
	return 0;
}