NYOJ 108 士兵杀敌1（树状数组）

首先，要先讲讲树状数组：

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察上面的图：

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

 int lowbit(int x)
 {

 return x&(-x);

 }

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:	令sum = 0，转第二步；
step2:	假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3:	令n = n – lowbit(n)，转第二步。

 

 

 

 

 

 

 

 int Sum(int n)
 {
     int sum=;
     while(n>)
     {
          sum+=c[n];
          n=n-lowbit(n);
     }
     return sum;
 }

 

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

 

step1:	当i > n时，算法结束，否则转第二步；
step2:	Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。 i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

 

 

 

 

 

代码如下： 

 

 void change(int i,int x)
 {
      while(i<=n)
      {
           c[i]=c[i]+x;
           i=i+lowbit(i);
      }
 }

对于数组求和来说树状数组简直太快了!

 

参考资料：百度百科

 

好了，因此士兵杀敌1的题目代码可用树状数组求和：

代码出处

 #include"stdio.h"
 #include<string.h>
 int a[];
 int main()
 {
         int n,sum;
         scanf("%d%d",&n,&sum);
         int i,j,k;
         memset(a,,sizeof(a));
         for(i=;i<=n;i++)
         {
              int num;
              scanf("%d",&num);
              j=i;
              while(j<=n)
              {
                     a[j]=a[j]+num;
                     j+=j&(-j);
              }
         }
         for(i=;i<sum;i++)
         {
               scanf("%d%d",&k,&j);
               int s1=,s2=;
               k=k-;
               while(k>=)
               {
                    s1=s1+a[k];
                    k-=k&(-k);
                }
                while(j>=)
                {
                      s2=s2+a[j];
                      j-=j&(-j);
                }
                printf("%d",s2-s1);
                putchar('\n');
          }
          return ;
 }