bzoj3571————2016——3——12（最小乘积匹配）

bzoj3571

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题解：

——————来自伟大的thy大神  http://blog.csdn.net/thy_asdf/article/details/50382556

思路：首先看到题目的这个形式，就可以想到最小乘积生成树

这题就是要求最小乘积匹配。

对于这一类问题，我们都可以把每种方案的x之和与y之和作为它的坐标(x,y)

要让乘积最小，那么可能的方案的坐标一定在一个下凸壳上。

首先我们求出x最小的方案的坐标，再求出y最小方案的坐标

这就是凸壳的两个端点A，B。

然后考虑分治，每次找出离直线AB最远的点C，再继续处理

要使距离最远，就是使向量AB和向量AC的叉积最大

即最大化(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x)

即c.x*(b.y-a.y)+c.y*(a.x-b.x)       -a.x*(b.y-a.y)+a.y*(b.x-a.x)

后面的一部分是常数，不用管。

就是要使c.x*(b.y-a.y)+c.y*(a.x-b.x) 最大化

那么把A[i][j]*(b.y-a.y)+B[i][j]*(a.x-b.x) 做i匹配j的边权

跑一遍KM求出最大匹配即可得出叉积最大的匹配

对于其他的最小乘积XXX，就类似地每次跑一遍XXX的算法求出离AB最远的方案即可

直到不可以继续细分下去就返回两端点的匹配较小的一个即可

虽然可以通过把所有方案构造在凸壳上卡掉这个算法，但随机情况下还是很快的

顺带复习一下KM算法。

KM算法使用来求完备匹配时的最大权匹配，就是所有的x都匹配到一个y，所有y都匹配到一个x

每个点都有一个顶标lx[i],ly[i]，设ij匹配的权值为g[i][j]

那么要一直满足任意的一组顶标lx[i]+ly[j]>=g[i][j]

把所有lx[i]+ly[j]==g[i][j]的边拿出来之后的图，如果有完备匹配

那这个完备匹配就一定是最大权匹配。

简单理解就是这个匹配的权值此时一定是所有顶标的和

对于有不在新图中的边(a,b)的另一个匹配

因为g[a][b]<lx[a]+ly[b]，所以这个匹配的权值要更小。

lx[i]初值设为max(g[i][j]),ly[i]初值设为0，就满足顶标的条件

然后我们要修改顶标权值，使之在满足条件的前提下，让更多的边进入新图中，才有可能得到一个完备匹配

把所有在当前新图中的匹配中的x的顶标lx[x]减去d，把所有在当前新图中的匹配中的y的顶标加上d

但我们还要满足lx[i]+ly[j]>=g[i][j]

所以d应该取不在当前匹配的y中的min(lx[x]+ly[y]-g[x][y])(x与y有边)，这才可以使改变d后的图满足lx[i]+ly[j]>=g[i][j]

那么为什么这样会有新边增加？

对于边(x,y)

1.x，y都在当前匹配lx[x]-=d,ly[y]+=d和不变，原来在新图中，现在还在新图中；

2.x在，y不在，lx[x]-=d,ly[y]不变，原来不在新图中，现在和减小了，可能出现在新图中；

3.x不在，y在，lx[x]不变，ly[y]+=d，原来不在新图中，现在和变大了，不会进入新图中；

4.xy都不在，那么lx[x],ly[y]都不变，原来不在新图中，现在也不在新图中。

所以只有2会产生新边，不会有边消失，那么新图的边数会越来越大，直到找到一个完备匹配。

代码：

#include<iostream>

#include<cstring>
#include<cstdio>
#define inf 0x7fffffff
struct poi{int x,y;}le,ri;
int lx[],ly[],sla[];
int g[][],a[][],b[][],f[];
int n;
bool vx[],vy[];
bool operator ==(poi a,poi b){return a.x==b.x&&a.y==b.y;}
using namespace std;
bool dfs(int x)
{
    vx[x]=true;
    for (int y=; y<=n; y++)
    {
        if (!vy[y])
        {
            int t=lx[x]+ly[y]-g[x][y];
            if (!t)
            {
                vy[y]=true;
                if (!f[y]||dfs(f[y]))
                {
                    f[y]=x;
                    return true;
                }
            }
            else sla[y]=min(sla[y],t);
        }
    }
    return false;
}
poi km()
{
    memset(lx,,sizeof(lx)); memset(ly,,sizeof(ly)); memset(f,,sizeof(f));
    for (int i=; i<=n; i++) for (int j=; j<=n; j++)  lx[i]=max(lx[i],g[i][j]);
    for (int x=; x<=n; x++)
    {
        memset(sla,,sizeof(sla));
        while (true)
        {
            memset(vx,,sizeof(vx)); memset(vy,,sizeof(vy));
            if (dfs(x)) break;
            int d=inf;
            for (int i=; i<=n; i++) if (!vy[i]) d=min(d,sla[i]);
            for (int i=; i<=n; i++)
            {
                if (vx[i]) lx[i]-=d;
                if (vy[i]) ly[i]+=d;
            }
        }
    }
    poi ans=(poi) {,};
    for (int i=; i<=n; i++) ans.x+=a[f[i]][i], ans.y+=b[f[i]][i];
    return ans;
}
int slove(poi l,poi r)
{
    for(int i=; i<=n; i++) for (int j=; j<=n; j++) g[i][j]=a[i][j]*(r.y-l.y)+b[i][j]*(l.x-r.x);
    poi mid=km();
    if (l==mid||r==mid) return min(l.x*l.y,r.x*r.y);
    else
    return min(slove(l,mid),slove(mid,r));
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for (int z=; z<=t; z++)
    {
        scanf("%d",&n);
        for (int i=; i<=n; i++) for (int j=; j<=n; j++) scanf("%d",&a[i][j]);
        for (int i=; i<=n; i++) for (int j=; j<=n; j++) scanf("%d",&b[i][j]);
        for (int i=; i<=n; i++) for (int j=; j<=n; j++) g[i][j]=-a[i][j];le=km();
        for (int i=; i<=n; i++) for (int j=; j<=n; j++) g[i][j]=-b[i][j];ri=km();
        printf("%d\n",slove(le,ri));
    }
}

 

这样是O（n^4）的，所以有一个优化，记录一个slack数组 slack[y]=min(lx[x]+ly[y]-g[x][y])(x与y有边)

每次求d就只要对不在匹配中的y的slack取min即可