SVD（奇异值分解）小结

注：奇异值分解在数据降维中有较多的应用，这里把它的原理简单总结一下，并且举一个图片压缩的例子，最后做一个简单的分析，希望能够给大家带来帮助。

1、特征值分解（EVD）

实对称矩阵

在理角奇异值分解之前，需要先回顾一下特征值分解，如果矩阵\(A\)是一个\(m\times m\)的实对称矩阵（即\(A = A^T\)），那么它可以被分解成如下的形式

\[A = Q\Sigma Q^T=
Q\left[
\begin{matrix}
\lambda_1 & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \lambda_2 & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \lambda_m\\
\end{matrix}
\right]Q^T
\tag{1-1}
\]

其中\(Q\)为标准正交阵，即有\(QQ^T = I\)，\(\Sigma\)为对角矩阵，且上面的矩阵的维度均为\(m\times m\)。\(\lambda_i\)称为特征值，\(q_i\)是\(Q\)（特征矩阵）中的列向量，称为特征向量。

注：\(I\)在这里表示单位阵，有时候也用\(E\)表示单位阵。式（1-1）的具体求解过程就不多叙述了，可以回忆一下大学时的线性代数。简单地有如下关系：\(Aq_i = \lambda_i q_i, \quad q_i^T q_j = 0(i \ne j)\)。

一般矩阵

上面的特征值分解，对矩阵有着较高的要求，它需要被分解的矩阵\(A\)为实对称矩阵，但是现实中，我们所遇到的问题一般不是实对称矩阵。那么当我们碰到一般性的矩阵，即有一个\(m \times n\)的矩阵\(A\)，它是否能被分解成上面的式（1-1）的形式呢？当然是可以的，这就是我们下面要讨论的内容。

2、奇异值分解（SVD）

2.1 奇异值分解定义

有一个\(m \times n\)的实数矩阵\(A\)，我们想要把它分解成如下的形式

\[A = U\Sigma V^T
\tag{2-1}
\]

其中\(U\)和\(V\)均为单位正交阵，即有\(UU^T=I\)和\(VV^T=I\)，\(U\)称为左奇异矩阵，\(V\)称为右奇异矩阵，\(\Sigma\)仅在主对角线上有值，我们称它为奇异值，其它元素均为0。上面矩阵的维度分别为\(U \in R^{m\times m},\ \Sigma \in R^{m\times n},\ V \in R^{n\times n}\)。

一般地\(\Sigma\)有如下形式

\[\Sigma =
\left[
\begin{matrix}
\sigma_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & \sigma_2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\
\end{matrix}
\right]_{m\times n}
\]

图1-1 奇异值分解

对于奇异值分解，我们可以利用上面的图形象表示，图中方块的颜色表示值的大小，颜色越浅，值越大。对于奇异值矩阵\(\Sigma\)，只有其主对角线有奇异值，其余均为0。

2.2 奇异值求解

正常求上面的\(U,V,\Sigma\)不便于求，我们可以利用如下性质

\[AA^T=U\Sigma V^TV\Sigma^TU^T=U\Sigma \Sigma^TU^T
\tag{2-2}
\]

\[A^TA=V\Sigma^TU^TU\Sigma V^T=V\Sigma^T\Sigma V^T
\tag{2-3}
\]

注：需要指出的是，这里\(\Sigma\Sigma^T\)与\(\Sigma^T\Sigma\)在矩阵的角度上来讲，它们是不相等的，因为它们的维数不同\(\Sigma\Sigma^T \in R^{m \times m}\)，而\(\Sigma^T\Sigma \in R^{n \times n}\)，但是它们在主对角线的奇异值是相等的，即有

\[\Sigma\Sigma^T =
\left[
\begin{matrix}
\sigma_1^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & \sigma_2^2 & 0 & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \ddots \\
\end{matrix}
\right]_{m\times m}\quad
\Sigma^T\Sigma =
\left[
\begin{matrix}
\sigma_1^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & \sigma_2^2 & 0 & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0 & \ddots\\
\end{matrix}
\right]_{n\times n}
\]

可以看到式（2-2）与式（1-1）的形式非常相同，进一步分析，我们可以发现\(AA^T\)和\(A^TA\)也是对称矩阵，那么可以利用式（1-1），做特征值分解。利用式（2-2）特征值分解，得到的特征矩阵即为\(U\)；利用式（2-3）特征值分解，得到的特征矩阵即为\(V\)；对\(\Sigma\Sigma^T\)或\(\Sigma^T\Sigma\)中的特征值开方，可以得到所有的奇异值。

3、奇异值分解应用

3.1 纯数学例子

假设我们现在有矩阵\(A\)，需要对其做奇异值分解，已知

\[A =
\left[
\begin{matrix}
​ 1 & 5 & 7 & 6 & 1 \cr
​ 2 & 1 & {10} & 4 & 4 \cr
​ 3 & 6 & 7 & 5 & 2 \cr
\end{matrix}
\right]
\]

那么可以求出\(AA^T\)和\(A^TA\)，如下

\[AA^T =
\left[
\begin{matrix}
​ 112 & 105 & 114 \cr
​ 105 & 137 & 110 \cr
​ 114 & 110 & 123 \cr
\end{matrix}
\right] \quad
A^TA =
\left[
\begin{matrix}
​ 14 & 25 & 48 & 29 & 15 \\
​ 25 & 62 & 87 & 64 & 21 \\
​ 48 & 87 & 198 & 117 & 61 \\
​ 29&64&117&77&32\\
​ 15&21&61&32&21
\end{matrix}
\right]
\]

分别对上面做特征值分解，得到如下结果

U =
[[-0.55572489, -0.72577856,  0.40548161],
 [-0.59283199,  0.00401031, -0.80531618],
 [-0.58285511,  0.68791671,  0.43249337]]

V =
[[-0.18828164, -0.01844501,  0.73354812,  0.65257661,  0.06782815],
 [-0.37055755, -0.76254787,  0.27392013, -0.43299171, -0.17061957],
 [-0.74981208,  0.4369731 , -0.12258381, -0.05435401, -0.48119142],
 [-0.46504304, -0.27450785, -0.48996859,  0.39500307,  0.58837805],
 [-0.22080294,  0.38971845,  0.36301365, -0.47715843,  0.62334131]]

奇异值\(\Sigma = \text{Diag}(18.54, 1.83, 5.01)\)

3.2 在图像压缩中的应用

准备工具

下面的代码运行环境为python3.6+jupyter5.4

SVD（Python）

这里暂时用numpy自带的svd函数做图像压缩。

①读取图片

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg
import numpy as np

img_eg = mpimg.imread("../img/beauty.jpg")
print(img_eg.shape)

图片的大小是\(600\times 400 \times 3\)

②奇异值分解

img_temp = img_eg.reshape(600, 400 * 3)
U,Sigma,VT = np.linalg.svd(img_temp)

我们先将图片变成\(600\times 1200\)，再做奇异值分解。从svd函数中得到的奇异值sigma它是从大到小排列的。

③取前部分奇异值重构图片

# 取前60个奇异值
sval_nums = 60
img_restruct1 = (U[:,0:sval_nums]).dot(np.diag(Sigma[0:sval_nums])).dot(VT[0:sval_nums,:])
img_restruct1 = img_restruct1.reshape(600,400,3)

# 取前120个奇异值
sval_nums = 120
img_restruct2 = (U[:,0:sval_nums]).dot(np.diag(Sigma[0:sval_nums])).dot(VT[0:sval_nums,:])
img_restruct2 = img_restruct2.reshape(600,400,3)

将图片显示出来看一下，对比下效果

fig, ax = plt.subplots(1,3,figsize = (24,32))

ax[0].imshow(img_eg)
ax[0].set(title = "src")
ax[1].imshow(img_restruct1.astype(np.uint8))
ax[1].set(title = "nums of sigma = 60")
ax[2].imshow(img_restruct2.astype(np.uint8))
ax[2].set(title = "nums of sigma = 120")

图3-1 奇异值重构图片

可以看到，当我们取到前面120个奇异值来重构图片时，基本上已经看不出与原图片有多大的差别。

注：上面的美女图片源于网络，侵删。

总结

从上面的图片的压缩结果中可以看出来，奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值，或者说，奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时，它代表的信息越多。因此，我们取前面若干个最大的奇异值，就可以基本上还原出数据本身。

如下，可以作出奇异值数值变化和前部分奇异值和的曲线图，如下图所示

奇异值变化图

从上面的第1个图，可以看出，奇异值下降是非常快的，因此可以只取前面几个奇异值，便可基本表达出原矩阵的信息。从第2个图，可以看出，当取到前100个奇异值时，这100个奇异值的和已经占总和的95%左右。

最后，还有一点需要提到的是，如果自己想不调用np.linalg.svd函数，手动实现奇异值分解的话，单纯利用第2小节的内容实现，有点不够，有个问题需要注意。这里暂时不多做讨论了，大家有兴趣可以看我下面分享的《SVD（奇异值分解）Python实现》，重点可以看看其中SVD算法实现。