Solution -「ARC 123F」Insert Addition

大约是翻译了一下官方题解？

@Description@

对于一个整数序列 \(P=(P_{1},\dots,P_{m})\)，定义 \(f(P)\) 为一个序列 \(Q\) 满足：

\(Q_{i}=P_{i}+P_{i+1}\)，其中 \(i\in[1,m)\)；
\(f(P)=(P_{1},Q_{1},\dots,P_{m-1},Q_{m-1},P_{m})\)。

给出正整数 \(a,b,N\)，其中 \(a,b\leqslant N\)，令序列 \(A=(a,b)\)，令序列 \(B\) 为一下操作的结果：

做 \(N\) 次令 \(A=f(A)\).
删除 \(A\) 中大于 \(B\) 的数。

求 \(B_{l,\dots r}\)。

@Solution@

◆ The Coefficient Sequence

构造最终的 \(A\) 序列的过程是这样的：

\[a,b \\
a,a+b,b \\
a,2a+b,a+b,a+2b,b \\
a,3a+b,2a+b,3a+2b,a+b,2a+3b,a+2b,a+3b,b \\
\dots
\]

可以发现有对称性。此时我们先不关心 \(a,b\) 以及 \(N\) 的大小，反之，我们来观察其序列系数，也就是把每个元素看成 \(xa+yb\)，其系数的 \((x,y)\)，上例的序列系数即

\[(1,0),(0,1) \\
(1,0),(1,1),(0,1) \\
(1,0),(2,1),(1,1),(1,2),(0,1) \\
(1,0),(3,1),(2,1),(3,2),(1,1),(2,3),(1,2),(1,3),(0,1) \\
\dots
\]

以下我们称其为 Coefficient Sequence。

◆ The properties of the Coefficient Sequence

现在我们来观察 Coefficient Sequence 的性质。

Observation 1：在 Coefficient Sequence 中相邻的两个二元组 \((x_{S},y_{S}),(x_{T},y_{T})\)，都有： \(x_{S}y_{T}-x_{T}y_{S}=1\)。

使用数学归纳法（induction）即证。

Observation 2：对于两个两个二元组 \((x_{S},y_{S}),(x_{T},y_{T})\)，如果他们满足 \(x_{S}y_{T}-x_{T}y_{S}=1\)，那么它们在 Coefficient Sequence 中相邻，即 Observation 1 是充要条件。

不会证，大概意会一下吧。

Observation 3：对于一个二元组 \((x,y)\)，如果 \(\gcd(x,y)=1\)，那么 \((x,y)\) 会出现在 Coefficient Sequence 中。

比较显然，以至于官方题解没有给出证明。

Observation 4：在任意时刻，所有在 Coefficient Sequence 中的 \((x,y)\) 总是呈从左到右的关于值 \(\frac{y}{x}\) 递增（令 \(\frac{x}{0}=\infty\)）。

◆ The sequence \(B\) in other words

现在描述序列 \(B\) 变得更加容易，现在我们这样描述它：

对于所有二元组 \((x,y)\) 满足 \(x,y,s.t.x,y\in\mathbb{N},\gcd(x,y)=1,ax+by\leqslant N\)，我们对其按 \(\frac{y}{x}\) 排序后形成一个二元组序列 \(\{(x_{i},y_{i})\}\)，则 \(B_{i}=ax_{i}+by_{i}\)。

◆ Computing \(B_{n}\)

现在我们来考虑原问题的简化版，我们来计算 \(B_{n}\)。让我们把这个描述成一个计数问题（通过二分 \(\frac{y}{x}\)）：

给定正整数 \(a,b,N\)，以及一个有理数 \(c\)（二分的值），求二元组 \((x,y)\neq(0,0)\) 的数量，其中 \((x,y)\) 满足

\(ax+by\leqslant N\)；

\(\gcd(x,y)=1\)；

\(\frac{y}{x}\leqslant c\)。

我们令 \(F(N)\) 为以上问题的答案，同时令 \(G(N)\) 为去掉 \(\gcd(x,y)=1\) 限制的答案。\(G(N)\) 的式子可以很方便的写出来： \(G(N)=\sum_{y=1}^{N}\max\{\lfloor\frac{N-by}{a}\rfloor-\lfloor\frac{y}{c}\rfloor+1,0\}\)，同时我们还可以写出 \(G(N)=\sum_{d=1}^{N}F(\lfloor\frac{N}{d}\rfloor)\)。那么再根据 Möbius inversion formula，我们可以表示出 \(F(N)=\sum_{d=1}^{N}\mu(d)G(\lfloor\frac{N}{d}\rfloor)\)。于是计算该问题答案的复杂度就是 \(\mathcal{O}(N)\)。

但是此时我们知道了 \(B_{n}\) 的 \(\frac{y_{n}}{x_{n}}\)，怎么知道 \((x_{n},y_{n})\) 呢？我们可以再做一个二分。观察出这样一个规律：若令 \(l=(1,0),r=(0,1)\)，那么中间位置就是 \(l+r\)。于是我们可以再次做一个二分，利用 \(\frac{y}{x}\) 单调来做 check。

顺带一提，这个还可以使用 类欧几里得 来计算。

◆ Computing \(B_{l,\dots,r}\)

可以发现这个东西可以知二求一，于是求出 \(B_{l},B_{l+1}\) 就行了。当然也可以求出 \(B_{l},B_{r}\) 然后做二分搜索。