NEFU OJ Problem1485 贪吃蛇大作战 题解

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题目

Description

贪吃蛇大家一定都玩过吧，现在宋哥也要玩这个游戏，最初的时候贪吃蛇从屏幕的左下角出发，但是有一个非常不幸的事情，就是宋哥的游戏机的左键和下键坏掉了，这意味着什么？没错！他只能操控他的蛇向右或向上走了，假设屏幕被划分为10^9*109的格子，而贪吃蛇从坐标为(1,1)的格子出发，每次操作可以从坐标为(x,y)的格子前往坐标为(x+1,y)或(x,y+1)的格子，在所有格子中有一些格子中有一些食物，宋哥现在想知道，他的贪吃蛇最多能吃到多少食物呢？

Input

输入的第一行包含一个数字T(1<=T<=10)，代表数据组数，之后的每组数据的每一行包含一个数字n (1<=n<=1000)，代表有食物的格子数量，之后的n行每一行包含三个数字xi(1<=xi<=10^{9),yi(1&lt;=xi&lt;=10}9),pi(1<=xi<=10^6)，分别代表格子的坐标和在这个格子里的食物数量。

Output

输出T行，第i行为第i组数据的答案。

Sample Input

2

3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3

1 3 1

2 2 2

3 1 3

Sample Output

6

3

Hint

Source

MGH

思路

看起来像很经典的dp问题，但是区别是点很稀疏，只有1e3的点，却有1e9*1e9的棋盘，考虑将点位置重新紧密排布, 建立一个映射将稀疏点集\(S\)映射到紧密点集\(P'\)即 \(f:\{P_i = (X_i,Y_i)\in S\}\rightarrow \{P'_i=(X'_i,Y'_i)\in S'\}\)使得\(S'\)方便使用dp。

需要保证重新排布后性质不变，分析后得知需要满足保持原本的横纵坐标的大小关系即

\[\forall P_i, P_j\in S
\left\{
\begin{array}{c}
x_i < x_j \rightarrow x'_i < x'_j\\
x_i = x_j \rightarrow x'_i = x'_j\\
x_i > x_j \rightarrow x'_i > x'_j\\
\end{array}
\right.
\]

\[\forall P_i, P_j\in S
\left\{
\begin{array}{c}
y_i < y_j \rightarrow y'_i < y'_j\\
y_i = y_j \rightarrow y'_i = y'_j\\
y_i > y_j \rightarrow y'_i > y'_j\\
\end{array}
\right.
\]

如下图所示方法，删除所有空行和空列可以实现。

算法实现

1. 对\(x\)坐标由小到大排序
2. 对于每个点遍历从0开始分配新的\(x'\)坐标，如果某个点\(x\)坐标与上一个点相同，则分配相同的\(x'\)坐标，而不递增\(x'\)。

之后再对\(y\)坐标进行同样的操作。

完成后对\(S'\)点集进行DP即可

代码如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Food
{
    int x, y, v, _x, _y;//_x和_y代表映射后坐标
} food[1020];

int mp[1020][1020], dp[1020][1020];

bool Cmp1(Food f1, Food f2)//x排序
{
    return f1.x < f2.x;
}
bool Cmp2(Food f1, Food f2)//y排序
{
    return f1.y < f2.y;
}

int Find(int x, int y)//Dp
{
    if(dp[x][y] != -1)
        return dp[x][y];

    int res = 0;
    if(x-1 >= 0)
        res = max(res, Find(x-1,y));
    if(y-1 >= 0)
        res = max(res, Find(x,y-1));
    return dp[x][y] = res + mp[x][y];
}
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            scanf("%d%d%d", &food[i].x, &food[i].y, &food[i].v);

        //x排序并分配新坐标
        sort(food, food+n, Cmp1);
        int ind_x = 1;
        food[0]._x = 1;
        for (int i = 1; i < n; i ++)
            if(food[i].x == food[i-1].x)
                food[i]._x = ind_x;
            else
                food[i]._x = ++ind_x;

        //y排序并分配新坐标
        sort(food, food+n, Cmp2);
        int ind_y = 1;
        food[0]._y = 1;
        for (int i = 1; i < n; i ++)
            if(food[i].y == food[i-1].y)
                food[i]._y = ind_y;
            else
                food[i]._y = ++ind_y;

        //普通DP过程
        for (int i = 0; i <= 1000; i ++)
            for (int j = 0; j <= 1000; j ++)
                mp[i][j] = 0;

        for (int i = 0; i < n; i ++)
            mp[food[i]._x][food[i]._y] = food[i].v;

        for (int i = 0; i <= ind_x; i ++)
            for (int j = 0; j <= ind_y; j ++)
                dp[i][j] = -1;

        dp[0][0] = 0;

        cout << Find(ind_x,ind_y) << endl;
    }
    return 0;
}