【文文殿下】浅谈KMP算法next数组与循环节的关系

KMP算法

KMP算法是一种字符串匹配算法，他可以在O(n+m)的时间内求出一个模式串在另一个模式串下出现的次数。
KMP算法是利用next数组进行自匹配，然后来进行匹配的。

Next数组

Next数组表示一个前缀的最长proper的长度。
简单地讲，$S[1 \sim next[i]] = S[next[i]+1 \sim i] $.

循环节

一个字符串\(S\)，若是由字符串\(P\)重复\(k(k>1)\)次形成的，则称字符串\(P\)是\(S\)的一个循环节。使\(k\)最大的循环节被称为最小循环节。

引理：

对于一个字符串的前缀\(S[1 \sim i]\)，它存在一个长度为\(len\)的循环节，当且仅当\(len|i\),\(len<i\),且\(S[1 \sim len]=S[len+1 \sim i]\).
即\(len\)为\(S[i]\)的一个\(proper\)长度且\(len\)整除\(i\).
显然，当\(len\)取\(i-next[i]\)时，求得的循环节为最小循环节。通过\(next\)数组的不断迭代，可以求出前缀\(S[i]\)的所有循环节。

对于引理的证明

先证必要性。设\(S[1 \sim i]\)具有长度为\(len\)的循环节，显然\(len\)整除\(i\),并且\(S[1 \sim i-len]\)和\(S[len+1 \sim i]\)都是由\(i/len-1\)个循环节构成的。故\(S[1 \sim i-len]=S[len+1 \sim i]\).
再证充分性。设\(len\)整除\(i\)，并且\(S[len+1 \sim i]=S[1 \sim i-len]\)，因为\(len<i\)，所以\(S[1 \sim i-len]\)和\(S[len+1 \sim i]\)的长度不小于\(len\)且是\(len\)的倍数。各区前\(len\)个字符，有\(S[1 \sim len]=S[len+1 \sim 2*len]\),可以发现，他们是以\(len\)为间隔错位对齐的。故\(S[1 \sim len]\)是\(S[i]\)的一个循环节。

推论

任意循环元的长度必然是最小循环元长度的整数倍。