题目链接:奇怪的游戏

  一开始这道题想岔了……想到黑白染色后对总格子数按奇偶性分类讨论,然后没发现奇数个格子的可以直接解方程……

  首先可以发现每次操作是给相邻的两个格子权值加一,因此我们把棋盘黑白染色后每次操作就是给白格子和黑格子加一。因此白格子和黑格子的增加的量是相等的。设我们有\(n_1\)个白格子,它们的数值和是\(s_1\),有\(n_2\)个黑格子,数值和是\(s_2\)。再设最后每个数都变成了\(x\),那么有:

\[n_1x-s_1=n_2x-s_2\]

  所以当\(n_1 \neq n_2\)时就可以直接解出\(x\)了。然后跑遍最大流检验一下这个\(x\)是否合法即可。

  然后当\(n_1 = n_2\)时,如果\(s_1 \neq s_2\),那么显然无解。否则的话,我们可以发现答案是可以二分的。若\(x\)是一个合法的答案,因为共有偶数个格子,那么行数和列数至少有一个是偶数,我们就有一种方案把每个位置上的权值都加上一,使答案变成\(x+1\)。所以,二分一个答案,最大流\(check\)即可。

  下面贴代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 1610
#define maxm 10000
#define INF (1ll<<60) using namespace std;
typedef long long llg; int Q,n,m,a[41][41],S,T,n1,n2,_m;
int zx[4]={0,0,1,-1},zy[4]={1,-1,0,0};
int head[maxn],next[maxm],to[maxm],tt;
llg s1,s2,c[maxm]; int getint(){
int w=0;bool q=0;
char c=getchar();
while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
if(c=='-') c=getchar(),q=1;
while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
return q?-w:w;
} void link(int x,int y){
to[++tt]=y;next[tt]=head[x];head[x]=tt;
to[++tt]=x;next[tt]=head[y];head[y]=tt;
} int d[maxn],rd,ld,dep[maxn];
bool bfs(){
for(int i=1;i<=T;i++) dep[i]=-1;
ld=rd=0; d[rd++]=S; dep[S]=1;
while(ld!=rd){
int u=d[ld++];
for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
if(c[i] && dep[v]==-1) dep[v]=dep[u]+1,d[rd++]=v;
}
return dep[T]!=-1;
} llg dfs(int u,llg now){
if(!now) return 0;
if(u==T) return now;
llg low=0,res;
for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
if(c[i] && dep[v]==dep[u]+1){
res=dfs(v,min(now,c[i])); low+=res;
c[i]-=res; c[i^1]+=res; now-=res;
}
if(!low) dep[u]=-1;
return low;
} bool cheadck(llg x){
int next=2; llg ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++,next+=2){
if(a[i][j]>x) return 0;
c[next]=x-a[i][j],c[next^1]=0;
}
while(next<=tt) c[next]=INF,c[next^1]=0,next+=2;
while(bfs()) ans+=dfs(S,INF);
return ans>=1ll*x*n1-s1;
} void lian(int u,int x,int y){
for(int k=0,i,j;k<4;k++){
i=x+zx[k],j=y+zy[k];
if(i>0 && i<=n && j>0 && j<=m)
link(u,(i-1)*m+j);
}
} int main(){
File("a");
Q=getint();
while(Q--){
n=getint(); m=getint(); _m=n1=n2=0;
S=n*m+1; T=S+1; tt=1; s1=s2=0;
for(int i=1,now=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++,now++){
_m=max(_m,a[i][j]=getint());
if((i+j)&1) link(S,now),s1+=a[i][j],n1++;
else link(now,T),s2+=a[i][j],n2++;
}
for(int i=1,now=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++,now++)
if((i+j)&1) lian(now,i,j);
if(n1!=n2){
llg x=(s1-s2)/(n1-n2);
if(cheadck(x)) printf("%lld\n",n1*x-s1);
else printf("-1\n");
}
else if(s1!=s2) printf("-1\n");
else{
llg l=_m,r=s1+s2,mid;
while(l!=r){
mid=(l+r)>>1;
if(cheadck(mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
printf("%lld\n",l*n1-s1);
}
for(int i=1;i<=T;i++) head[i]=0;
}
return 0;
}

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