小朋友排队|2014年蓝桥杯B组题解析第十题-fishers

小朋友排队

n 个小朋友站成一排。现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。

每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是0。

如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加1，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加2（即不高兴程度为3），依次类推。当要求某个小朋友第k次交换时，他的不高兴程度增加k。

请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。

如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。

【数据格式】

输入的第一行包含一个整数n，表示小朋友的个数。 第二行包含 n 个整数 H1 H2 … Hn，分别表示每个小朋友的身高。 输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。

例如，输入：

3

3 2 1

程序应该输出：

9

【样例说明】 首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

【数据规模与约定】 对于10%的数据， 1<=n<=10； 对于30%的数据， 1<=n<=1000； 对于50%的数据， 1<=n<=10000； 对于100%的数据，1<=n<=100000，0<=Hi<=1000000。

资源约定： 峰值内存消耗 < 256M CPU消耗 < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

注意: main函数需要返回0 注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。 注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

思路一：求逆序对：左边大于它的 + 右边小于它的数量，求完逆序对后,计算等差数列和 (因为不高兴程度每次增加k)

待改进：只能过50%的数据，超时了。需要用归并排序 和 树状数组改进。

#include<iostream>
using namespace std;

int n;
int arr[1000010];
long long ans = 0;

/*
求逆序对：左边大于它的 + 右边小于它的数量
求完逆序对后,计算等差数列和 (因为不高兴程度每次增加k)
*/ 

long long cal(long long x){
	return x + x*(x-1)/2;
}

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>arr[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		long long ans1 = 0;
		long long ans2 = 0;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(arr[j] > arr[i]){
				ans1++;
			}
		}
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(arr[j]<arr[i]){
				ans2++;
			}
		}
		ans+=cal(ans1 + ans2);
	}
	cout<<ans<<endl;
}

思路二：使用树状数组优化，求逆序对

先熟悉树状数组原理及其应用。

    1.这道题可以转换成求每个位置的左边比他小的个数和右边比他大的个数，这两个相加就是这个人要被交换的次数，然后根据等差数列前n项求和公式(a1+an)*n/2，将所有位置和相加即可。

2.求逆序数用树状数组优化成 nlogm,树状数组是专门用来求前缀和的，这里从位置0遍历到n-1，把高度作为树状数组的下标，每个高度对应的个数作为树状数组的值，对于输入的小朋友高度a[i]，在当前小朋友左边&&比当前小朋友a[i]高的总数，就是树状数组s(maxh)-s(a[i])=i+1-s(a[i])，反之同理。

注意事项:

    1.题中a[i]可以等于0，所以要把输入加一，不然在后面计算sum(a[i]-1)处，会越界。

2.代码中a数组是保存输入,d数组的下标是高度，lr数组是保存位置i的左右逆序总数,maxh是输入的最大值

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define _for(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define _unfor(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define mset(a,val,n) for(int i=0;i<n;i++)a[i]=val;
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
typedef long long LL;

int a[100005],d[1000005],n,lr[100005],maxh=0;
//tree_arr
    void add(int i,int x){
        while(i<=maxh+1)d[i]+=x,i+=lowbit(i);
    }

    int sum(int i){
        int res=0;
        while(i>0)res+=d[i],i-=lowbit(i);
        return res;
    }
//
int main(){
    scanf("%d",&n);
    _for(i,0,n){scanf("%d",&a[i]);maxh=max(maxh,++a[i]);}
    _for(i,0,n){
        add(a[i],1);
        lr[i]+=i+1-sum(a[i]);
    }
    mset(d,0,maxh+5);
    _unfor(i,n-1,0){
        add(a[i],1);
        lr[i]+=sum(a[i]-1);
    }
    LL ans=0;
    _for(i,0,n){
        LL k=lr[i];
        ans+=k*(k+1)/2;
    }
    cout<<ans<<endl;
}