复旦高等代数 II（17级）每周一题

本学期将继续进行高等代数每周一题的活动。计划从第一教学周开始，到第十六教学周为止（根据法定节假日安排，中间个别周会适当地停止），每周的周末将公布1道思考题（共16道），供大家思考和解答。每周一题通过“谢启鸿高等代数官方博客（以博文的形式）”和“高等代数在线课程17级课群（以课群话题的形式）”这两个渠道同时发布，并通过17级高等代数微信群及时通知大家。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，并拍成图片上传到该每周一题对应的课群话题中。谢启鸿老师或研究生助教会对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。

[问题2018S01]  (1) 设 $A(x_1,x_2,\cdots,x_m)=(a_{ij}(x_1,x_2,\cdots,x_m))$ 为 $n$ 阶方阵, 其所有元素 $a_{ij}(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 都是关于未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 的多项式. 设 $h_i(x_1,x_2,\cdots,x_m)\neq 0\,(1\leq i\leq k)$, $g(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 都是关于未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 的多项式, 使得当数 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 满足 $h_i(a_1,a_2,\cdots,a_m)\neq 0\,(\forall\,1\leq i\leq k)$ 时, $|A(a_1,a_2,\cdots,a_m)|=g(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ 成立. 证明: $|A|=g(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 恒成立.

(2) 利用 (1) 给出复旦高等代数教材第 37 页习题 1.5.5 的简单解法.

(3) 利用多元多项式环的整性给出复旦高等代数教材第 91 页例 2.5.2 的严格证明.

[问题2018S02]  设 $M_n(K)$ 是数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $P=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, $M_n(K)$ 上的线性变换 $\eta$ 定义为 $\eta(X)=PX'P$. 试求 $\eta$ 的全体特征值及其特征向量.

[问题2018S03]  有限维线性空间上的线性变换至多只有有限个特征值. 试构造无限维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi$, 使得 $\varphi$ 有无限个特征值.

[问题2018S04]  设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, $\alpha,\beta$ 为 $n$ 维复列向量, $B=A\alpha\beta'$. 试求矩阵 $B$ 可对角化的充要条件.

[问题2018S05]  设 $C$ 为 数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 证明:

(1) $C$ 是幂零阵当且仅当 $C$ 的特征值全为零;

(2) 若 $r(C)=1$, 则 $C$ 是幂零阵当且仅当 $\mathrm{tr}(C)=0$;

(3) 若 $\mathrm{tr}(C)=0$ 且存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$, 使得 $A$ 的特征多项式是 $K$ 上的不可约多项式,  以及 $\mathrm{tr}(CA^i)=0\,(\forall\,1\leq i\leq n-1)$ 成立, 则必有 $r(C)\neq 1$.

[问题2018S06]  请仅用复旦高代教材第六章的方法和技巧证明以下问题:

(1) 设数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^m=I_n$, 其中 $m$ 是正整数, 证明: $A$ 在复数域上可对角化;

(2) 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi^m=I_V$, 其中 $m$ 是正整数. 设 $W=\{v\in V\mid \varphi(v)=v\}$ 为 $V$ 的子空间, 线性变换 $\psi=\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}\varphi^i$, 证明: $\mathrm{tr}\psi=\dim W$.

[问题2018S07]  设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, 请仅用复旦高代教材第六章的方法和技巧证明以下问题:

(1) $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 的极小多项式无重根;

(2) 若 $A$ 满足 $A\overline{A}'=\overline{A}'A$, 则 $A$ 可对角化.

注  (1) 包含在复旦高代教材的推论 7.6.1 中, (2) 包含在复旦高代教材的定理 9.6.3 中.

提示  请参考 16 级高代 II 思考题 6 及其解答博文《实对称阵可对角化的几种证明》.

[问题2018S08]  设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 如果存在 $V$ 的 $\varphi-$不变子空间 $V_1,V_2$, 使得 $$V=V_1\oplus V_2,\,\,\,\,\dim V_1<\dim V,\,\,\,\,\dim V_2<\dim V,$$ 则称 $V$ 是 $\varphi-$可分解的, 否则称 $V$ 是 $\varphi-$不可分解的. 证明: $V$ 是 $\varphi-$不可分解的充分必要条件是 $f(\lambda)=m(\lambda)=p(\lambda)^k$, 其中 $p(\lambda)$ 是 $K$ 上的首一不可约多项式, $k\geq 1$.

[问题2018S09]  设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $U$ 是 $V$ 的非零 $\varphi-$不变子空间. 设 $\lambda_0$ 是限制变换 $\varphi|_U$ 的一个特征值, 证明: $\varphi|_U$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 块的个数不超过 $\varphi$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 块的个数. 特别地, 若 $\varphi$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 块只有 1 个, 那么 $\varphi|_U$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 块也只有 1 个.

注  本题是 16 级高代 II 期中考试第六大题的推广. 请参考 17 级高代 I 每周一题第 10 题.

[问题2018S10]  设 $A$ 是复循环矩阵, $f(z)$ 是收敛半径为 $+\infty$ 的复幂级数, 证明: $f(A)$ 也是循环矩阵.

[问题2018S11]  求下列实二次型的规范标准型: $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i,j=1}^n|i-j|x_ix_j$.

[问题2018S12]  设 $\alpha,\beta$ 为 $n$ 维非零实列向量,

(1) 证明: $\alpha'\beta>0$ 成立的充要条件是存在 $n$ 阶正定实对称阵 $A$, 使得 $\alpha=A\beta$;

(2) 判断下列结论是否正确, 并说明理由: $\alpha'\beta\geq 0$ 成立的充要条件是存在 $n$ 阶半正定实对称阵 $A$, 使得 $\alpha=A\beta$.

[问题2018S13]  设 $V$ 是实 (复) 线性空间, 若存在 $V$ 上的实值函数 $\|\,\cdot\,\|:V\to\mathbb{R}$, 使得对任意的 $\alpha,\beta\in V$, $c\in\mathbb{R}\,(\mathbb{C})$, 满足:

(i) 非负性: $\|\alpha\|\geq 0$, 等号成立当且仅当 $\alpha=0$;

(ii) 齐次性: $\|c\alpha\|=|c|\cdot\|\alpha\|$;

(iii) 三角不等式: $\|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|$,

则称 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $V$ 上的一个范数. 给定范数的实 (复) 线性空间称为赋范线性空间. 例如在内积空间 $V$ 中, 由内积 $(-,-)$ 诱导的范数为 $\|\alpha\|=(\alpha,\alpha)^{\frac{1}{2}}$, 因此内积空间必为赋范线性空间. 现设 $(V, \|\,\cdot\,\|)$ 为赋范线性空间, 并且范数满足平行四边形法则, 即对任意的 $\alpha,\beta\in V$, 满足$$\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha-\beta\|^2=2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2,$$ 证明: 存在 $V$ 上的一个内积 $(-,-)$, 使得其诱导的范数即为 $\|\,\cdot\,\|$.

[问题2018S14]  设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的非异线性变换. 证明: $\varphi$ 保持向量的夹角不变 (即对任意的非零向量 $\alpha,\beta$, 它们之间的夹角等于 $\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ 之间的夹角) 当且仅当 $\varphi$ 保持向量的正交性不变 (即对任意正交的向量 $\alpha,\beta$, 它们的像 $\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ 也正交).

[问题2018S15]  设 $A,B$ 是乘法可交换的 $n$ 阶实对称阵, 且 $A,B,A+B$ 都可逆, 证明: $$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}.$$

[问题2018S16]  设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实对称阵, 满足 $a_{ij}\geq 0\,(1\leq i,j\leq n)$. 设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为 $A$ 的全体特征值, 证明: 存在某个特征值 $\lambda_j=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$.

注  本题的结论对一般的非负矩阵都成立 (即可把对称条件去掉). 具体地, 若 $A$ 是非负矩阵 (即所有元素都大于等于零), 则谱半径 $\rho(A)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$ 是 $A$ 的特征值, 并且可取到非负向量 (即所有元素都大于等于零) 作为对应的特征向量 (参考: Horn & Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Theorem 8.3.1).