hdu5976贪心乘法逆元

hdu 5976 Detachment题目连接

题意：

给定一个自然数x，让你给出一种拆分方式n=a1+a2+...(ai≠aj)，使得每个小部分的乘积s=a1*a2*...最大

解题思路：

我们要乘积最大，那么我们把n尽可能的拆分，如果题目不要求ai≠aj,那么我们将x拆分成什么最好呢？显然拆成2和3（2为偶数，3为奇数，2x+3y可以表示大于1的所有正整数）是最好的，顺便提下3最多的时候最优，为什么不是2，将,6拆成3个2乘积为8，而将6拆成3乘积为9，（不会证）

那这样我们就把n分成x个2和y个3，如果k=n-2x-3y>0&&k<2怎么办,此时k=1,把k放在哪里可以得到最优解呢？

把k放在2上可以得到最优解。假设n=6,那么拆成一个2一个3，k=1,将k放在2上（2+k)*3增加了3*k,如果放在3上（3+k)*2增加了2*k,

那么现在题目是要求ai≠aj

我们将n分成2,3,4,5,6,7,8,。。。。。从2开始以递增分（可以分的话）

我们设sum[max]为前缀和数组，那么当sum[i]>n时，k=n-sum[i-1];

将k怎么放呢？（把k看成k个1）

我们先放第一个1，放在谁哪里呢？显然放在2那，前面证过，所以为了最优我们尽可能的放在2，

但当2+k<i,那么就会出现拆分的数重复出现的情况，所以能将k全部放在2是在2+k>=i的情况下

如果在2+k<i的情况下该怎么放，因为此时2+k<i所以放任何个数的1都会出现重复的数，此时我们就要考虑3了，如果3+k>=i,我们全部放在3，

如果3+k<i,我们考虑4，以此规则继续。。。。

我们现在知道了，该怎么放多出来的k(如果有的话），那么最优乘积怎么求呢？

我们要除掉k放在的那个数i，再乘以(k+i)

为了让前缀乘不爆掉long long，我们取余，为了取余后不影响结果我们用乘法逆元来求最优乘积。

我的乘法逆元博客

用二分查找找i

以下是代码实现

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define max 1000000000
 const __int64 MOD=;//不能用define定义MOD否则会出错，define是一个函数
 using namespace std;
 __int64 f[];
 int sum[];
 int inv[];
 void del()
 {
     inv[]=;f[]=;sum[]=;
     for (int i = ; i<; i++)
     {
         inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;//乘法逆元
         f[i]=(f[i-]*i)%MOD;//前缀乘（在取余MOD的环境下，配合后面的乘法逆元）
         sum[i]=sum[i-]+i;//前缀和（从2开始）
     }
     //printf("%d %d %d xxx\n",inv[2],inv[3],inv[1]);
     return;
 }
 int main()
 {
     int T,n,i,j,k,l,r,mid;__int64 ans;
     while(scanf("%d",&T)!=EOF)
     {
         del();
         while(T--)
         {
             scanf("%d",&n);
             if(n<)printf("%d\n",n);
             else
             {
                 l=;r=;mid=(l+r)>>;
                 while(l+<r)
                 {
                     if(sum[mid]>n)r=mid,mid=(r+l)>>;//r定义为开，不取状态
                     else l=mid,mid=(r+l)>>;//l定义为闭，取状态
                 }
                 k=n-sum[l];//printf("%d %d %d xx",sum[l],k,inv[l+1-k]);
                 if(+k>l)ans=f[l]*inv[]%MOD*(k+)%MOD,printf("%I64d\n",(ans+MOD)%MOD);
                 else
                 ans=f[l]*inv[l+-k]%MOD*(l+)%MOD,printf("%I64d\n",(ans+MOD)%MOD);
             }
         }
     }
     return ;
 }