洛谷P3935 Calculating（整除分块）

题目链接：洛谷

题目大意：定义 $f(x)=\prod^n_{i=1}(k_i+1)$，其中 $x$ 分解质因数结果为 $x=\prod^n_{i=1}{p_i}^{k_i}$。求 $\sum^r_{i=l}f(i)\ mod\ 998244353$。

$1\leq l\leq r\leq 1.6\times 10^{14}$。

---

阅读以下内容前请先学会前置技能整除分块

先分析一下 $f(x)$ 的本质。

（读者：不要啰嗦来啰嗦去的好吧！这明显是 $x$ 的约数个数吗！是不是想拖延时间？）

好好好，你赢了。我们来看看如何计算。

看到区间 $[l,r]$ 函数求和，我们应该想到拆成前缀和 $pre(r)-pre(l-1)$。

现在看一看 $pre(x)=\sum^x_{i=1}f(i)$ 如何计算。

我们这样考虑：

$1\sim x$ 中有 $\lfloor\frac{x}{1}\rfloor$ 个 $1$ 的倍数，也就是有 $\lfloor\frac{x}{1}\rfloor$ 个数有约数 $1$。

同理有 $\lfloor\frac{x}{2}\rfloor$ 个数有约数 $2$。

有 $\lfloor\frac{x}{3}\rfloor$ 个数有约数 $3$。

$\dots\dots$

有 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 个数有约数 $i$。

所以 $pre(x)=\sum^x_{i=1}\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$。

这个……不就是整除分块模板了吗？

对于一段如何求和难度应该不大，可以自己推出来。

（读者：喂，别这么不良心好吧！）

好吧，$[l,r]$ 这段区间的和为 $\lfloor\frac{x}{l}\rfloor(r-l+1)$。

时间复杂度 $O(\sqrt{r})$，空间复杂度 $O(1)$。

---

既然是模板题一道，那就直接上代码。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll mod=;
 ll l,r;
 ll solve(ll x){    //整除分块
     ll ans=;
     for(ll l=,r;l<=x;l=r+){
         r=x/(x/l);    //左边界推算右边界
         ans=(ans+(r-l+)*(x/l))%mod;    //求和
     }
     return ans;
 }
 int main(){
     scanf("%lld%lld",&l,&r);
     printf("%lld\n",((solve(r)-solve(l-))%mod+mod)%mod);    //前缀和相减
 }

整除分块