HDU 5863 cjj's string game (矩阵乘法优化递推)

题目大意：用k种字符构建两个长度为n的字符串（每种字符有无限多个），要求对应位置字符相同的连续子串最长长度为m，问方法数。

其中k,n,m是输入，n(1<=n<=1000000000), m(1<=m<=10), k(1<=k<=26).

对题目解释更详细点儿，如下两串

123456

223466

这个的“对应位置字符相同的连续子串最长长度”是3，是字符串“234”。

解题思路，这题一看就是DP或者组合数学，但是不会组合数学，只能DP了
dp[i][j]表示前i个字符，最后j个位置相同的方法数

第三维01表示该状态是否包含了至少一个长度为m的“对应位置相同子串”

dp[i][j][0]=dp[i-1][j-1][0]*k                                                          （0<j<m）
dp[i][0][0]=sum(dp[i-1][0到m-1][0])*k*(k-1)
dp[i][j][1]=dp[i-1][j-1][1]*k                                                          （0<j<=m）
dp[i][0][1]=(sum(dp[i-1][0到m][1])+dp[i-1][m-1][0])*k*(k-1)

 

由于第一维范围过大，且只和前一个状态有关，很明显想到矩阵乘法优化递推。完整代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N = ;
 const ll MOD=;
 struct Mat {
     ll mat[N][N];
     Mat()
     {
         memset(mat,,sizeof(mat));
     }
     void clear(){
         memset(mat,,sizeof(mat));
     }
 };

 ll num[N];
 int n, m,K;
 Mat a;

 void init() {
     //初始化状态转移矩阵
     a.clear();
     for(int j=;j<m;j++)a.mat[][j]=K*(K-);
     for(int i=;i<m;i++)a.mat[i][i-]=K;
     for(int j=m;j<=*m;j++)a.mat[m][j]=K*(K-);
     for(int i=m+;i<=*m;i++)a.mat[i][i-]=K;
     a.mat[*m][m-]=K;
 }

 Mat operator * (Mat a, Mat b) {
     Mat c;
     for(int i=;i<=*m;i++){
         for(int j=;j<=*m;j++){
             for(int k=;k<=*m;k++){
                 c.mat[i][j]+=b.mat[i][k]*a.mat[k][j];
                 c.mat[i][j]%=MOD;
             }
         }
     }
     return c;
 }

 Mat operator ^ (Mat a, int k) {
     //初状态
     Mat c;
     c.mat[][]=;
     //快速幂
     for(; k; k >>= ) {
         if(k&) c = c*a;
         a = a*a;
     }
     return c;
 }

 int main() {
     //freopen("data.in", "r", stdin);
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&K)) {
         //初始化状态转移矩阵
         init();
         //矩阵快速幂，初始左矩阵不是单位矩阵，是初状态
         a = a^n;
         //得到最终矩阵后求答案
         ll ans=;
         for(int i = m; i <= *m; ++i) {
             ans+=a.mat[i][];
             ans%=MOD;
         }
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }

HDU 5863

然后写这个主要是想记录下矩阵乘法的板子

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = ;
const long long MOD=;
struct Mat {
    ll mat[N][N];
    Mat()
    {
        memset(mat,,sizeof(mat));
    }
    void clear(){
        memset(mat,,sizeof(mat));
    }
};

ll num[N];
int n, m,K;
Mat a;

void init() {
    //初始化状态转移矩阵
    a.clear();
    for(int j=;j<m;j++)a.mat[][j]=K*(K-);
    for(int i=;i<m;i++)a.mat[i][i-]=K;
    for(int j=m;j<=*m;j++)a.mat[m][j]=K*(K-);
    for(int i=m+;i<=*m;i++)a.mat[i][i-]=K;
    a.mat[*m][m-]=K;
}

Mat operator * (Mat a, Mat b) {
    Mat c;
    for(int i=;i<=*m;i++){
        for(int j=;j<=*m;j++){
            for(int k=;k<=*m;k++){
                c.mat[i][j]+=b.mat[i][k]*a.mat[k][j];
                c.mat[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return c;
}

Mat operator ^ (Mat a, int k) {
    //初状态
    Mat c;
    c.mat[][]=;
    //快速幂
    for(;k;k>>=){
        if(k&)c=c*a;
        a=a*a;
    }
    return c;
}

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);
        //初始化状态转移矩阵
        init();
        //矩阵快速幂，初始左矩阵不是单位矩阵，是初状态
        a = a^n;
    return ;
}