CF1320 Div1 D.Reachable Strings 题解

题目大意

给定一个长为\(n\)的01串\(S\)，每次你可以对一个串的三个连续位置做:\(011 \rightarrow 110\),\(110 \rightarrow 011\)的操作。

有\(q\)次询问，每次询问给出两个长度相等的子串，问是否能从一个串变到另一个串。

题解

首先，我们发现操作不改变\(1\)的个数。所以可以先用前缀和判断\(1\)的个数是否相等。

如果某个字符串不出现相邻的两个\(1\)，那么容易得到你无法做任何有效的操作，就直接判断是否相等。这一步可以用hash或sa或sam实现。

否则我们又发现一个新的不变量，就是奇数位（是子串的奇数位）的\(1\)的个数和偶数位的\(1\)的个数都不改变！所以我们用前缀和算出两个串判断奇数位的\(1\)，再判断是否相等

即可

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获得WA5的好成绩！

这给我们一个启示，就是简单的使用不变量无法得到正确的充要条件。

我们需要一个绝妙的想法。

把\(0\)看成小人,\(1\)看成空地。每次操作可以理解成把一个小人移动两个单位长度，且不改变小人之间的相对位置。

因此，从左到右每个小人所处位置的奇偶性是不变的。

设询问的字符串为\([l_1, r_1], [l_2, r_2]\)，则先判断这两个子串的\(0\)的个数是否相等。如果相等，记它们为\(k\)。设从左往右第一个串的第\(i\)个\(0\)的在S的位置是\(a_i\)，第二个串是\(b_i\)。

充要条件就是：对任意\(i\)，\(a_i - l_1 \equiv b_i - l_2 (\mod 2)\)！

（至于条件的充分性，真的很好证的，就不写了）

我们把S中每个\(0\)连起来，然后如果这个\(0\)的下标为奇数，就在这个位置填上\(1\)，否则填上\(0\)，记这个新串是\(T_1\)，把这个新串的\(01\)互换，形成\(T_2\)。

对\(T = T_1T_2\)建后缀数组或后缀自动机。问题变成了每次询问\(T\)的两个子串是否相等。

这是一个经典的问题。

#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cerr << #x << " " << (x) << endl
using namespace std;

const int N = 200005, K = 25;

int n, q, len[N << 2], par[N << 2], last = 0, cnt = 0;
char str[N];
map<char, int> ch[N << 2];
void extend (char c) {
	int p = last, np = ++cnt;
	len[np] = len[p] + 1;
	for (; ~p && !ch[p][c]; p = par[p]) ch[p][c] = np;
	if (p < 0) par[np] = 0;
	else {
		int q = ch[p][c];
		if (len[q] == len[p] + 1) par[np] = q;
		else {
			int nq = ++cnt;
			ch[nq] = ch[q], len[nq] = len[p] + 1;
			par[nq] = par[q], par[q] = par[np] = nq;
			for (; ~p && ch[p][c] == q; p = par[p]) ch[p][c] = nq;
		}
	}
	last = np;
}

int tot = 0, id[N << 1], fa[N << 2][K], Log2[N << 2];
int zero[N << 1], pos[N];

int find_pos (int l, int r) {
	int u = id[r];
	for (int i = Log2[cnt]; i >= 0; i--) {
		if (~fa[u][i] && len[fa[u][i]] > r - l) u = fa[u][i];
	}
	return u;
}

int main () {
	scanf("%d%s", &n, &str);
	par[0] = -1, len[0] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (str[i] == '0') {
			pos[tot] = i;
			zero[tot++] = i & 1;
		}
	}

	for (int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
		if (str[i] == '0') {
			zero[tot + j] = i & 1 ^ 1;
			j++;
		}
	}

	for (int i = 0; i < (tot << 1); i++) extend(zero[i] + '0'), id[i] = last;

	Log2[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= cnt; i++) Log2[i] = Log2[i >> 1] + 1;
	for (int i = 0; i <= cnt; i++) fa[i][0] = par[i];
	for (int i = 1; i <= Log2[cnt]; i++) {
		for (int j = 0; j <= cnt; j++) {
			if (fa[j][i - 1] < 0) fa[j][i] = -1;
			else fa[j][i] = fa[fa[j][i - 1]][i - 1];
		}
	}

	scanf("%d", &q);
	for (int i = 0; i < q; i++) {
		int l1, l2, len;
		scanf("%d%d%d", &l1, &l2, &len), l1--, l2--;

		int L1 = lower_bound(pos, pos + tot, l1) - pos, R1 = lower_bound(pos, pos + tot, l1 + len) - pos;
		int L2 = lower_bound(pos, pos + tot, l2) - pos, R2 = lower_bound(pos, pos + tot, l2 + len) - pos;

		bool flag = true;
		if (R1 - L1 != R2 - L2) flag = false;
		if (l1 & 1) L1 += tot, R1 += tot;
		if (l2 & 1) L2 += tot, R2 += tot;
		if (L1 < R1 && L2 < R2 && find_pos(L1, R1 - 1) != find_pos(L2, R2 - 1)) flag = false;
		if (flag) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}