何为原根?
由费马小定理可知 如果a于p互质 则有a^(p-1)≡1(mod p)
对于任意的a是不是一定要到p-1次幂才会出现上述情况呢?
显然不是,当第一次出现a^k≡1(mod p)时, 记为ep(a)=k 当k=(p-1)时,称a是p的原根
每个素数恰好有f(p-1)个原根(f(x)为欧拉函数)
 
定理:对于奇素数m, 原根个数为phi(phi(m)), 由于phi(m)=m-1, 所以为phi(m-1)。
某大牛的证明:

{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {xi%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},即为(p-1)的完全剩余系

若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,

根据定理,可以推出若gcd(x, p-1) = 1时, (1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系

因为若xi != xj (mod p-1),那么x*xi != x*xj (mod p-1),与条件m矛盾,所以 xi = xj (mod p-1),

由此可以确定答案为EulerPhi(p-1)

代码

#include<stdio.h>
#define maxn 66666
int euler[maxn+];
int phi(int n)
{
int res=n;
for(int i=;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==)
{
res=res-res/i;
while(n%i==)
n/=i;
}
}
if(n>)
res=res-res/n;
return res;
}
//筛法范围打表 nlogn
void phi()
{
for(int i=;i<=maxn;i++)
euler[i]=i;
for(int i=;i<=maxn;i+=)
euler[i]/=;
for(int i=;i<=maxn;i++)
{
if(euler[i]==i) //未被筛到。是素数,则用此素数来筛
{
for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
{
euler[j]=euler[j]/i*(i-);
}
}
}
return ;
}
int main()
{
int n;
phi();
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
printf("%d\n",euler[n-]);
}
}

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