CodeForces 1111E. Tree

题目简述：给定$n \leq 10^5$个节点的无根树，以及$q \leq 10^5$个询问。每个询问给定$k \leq 10^5$个不同的节点$a_1, a_2, \dots, a_k$，以及参数$1 \leq r \leq n, 1 \leq m \leq \min\{k, 300\}$，求将这$k$个节点分成不超过$m$组（本质不同）的方案数，使得

　　·每组节点至少有一个；

　　·以$r$为根时，任意节点的祖先不与该节点同组。

解：code

对每组询问，令$h[a_i]$表示$a_1, a_2, \dots, a_k$中$a_i$的祖先（不含自身）的个数。按$h[a_i]$从小到大排序$a_i$后，令$F[i][j]$表示前$i$个节点分成$j$组（本质不同）的合法方案数，则

$$ F[i][j] = (j-h[a_i])F[i-1][j]+F[i-1][j-1], $$

特别地，$F[0][j] = [j = 0]$。动态规划的复杂度为$O(mk)$。

现在的问题是，如何求得$h[a_i]$。若令$h_1[a_i]$表示以节点$1$为根时，$a_1, a_2, \dots, a_k$中$a_i$的祖先（含自身）的个数，则

$$ h[a_i] = h_1[a_i]+h_1[r]-2h_1[\text{LCA}(a_i, r)]+[\text{LCA}(a_i, r) \in \{a_1, a_2, \dots, a_k\}]-1, $$

其中$\text{LCA}(u, v)$表示$u$和$v$的最近公共祖先。

而$h_1[]$易于计算的，我们可以求树以节点$1$为根的DFS序，则$h_1[]$的维护可化为“区间修改”和“单点询问”的线段树问题。

求LCA的时间复杂度为$O(n\log n)$预处理以及$O(\log n)$单次询问。（其实可以将LCA转化为$\pm 1$RMQ问题，做到$O(n)$预处理以及$O(1)$单次询问。但这并不是重点。）

从而总的时间复杂度为$O(n\log n + K (m+\log n))$，其中$K$为所有询问的$k$之和。

解2：

计算$h[a_i]$可以看做是$a_i$至$r$的树链上的求和，可以用树链剖分在$O(k \log^2 n)$的时间复杂度内直接求得，而不需要经过任何问题的转化。