[luogu P2521] [HAOI2011]防线修建

[luogu P2521] [HAOI2011]防线修建

题目描述

近来A国和B国的矛盾激化，为了预防不测，A国准备修建一条长长的防线，当然修建防线的话，肯定要把需要保护的城市修在防线内部了。可是A国上层现在还犹豫不决，到底该把哪些城市作为保护对象呢？又由于A国的经费有限，所以希望你能帮忙完成如下的一个任务：

1. 给出你所有的A国城市坐标

2. A国上层经过讨论，考虑到经济问题，决定取消对i城市的保护，也就是说i城市不需要在防线内了

3. A国上层询问对于剩下要保护的城市，修建防线的总经费最少是多少

你需要对每次询问作出回答。注意单位1长度的防线花费为1。

A国的地形是这样的，形如下图，x轴是一条河流，相当于一条天然防线，不需要你再修建

A国总是有两个城市在河边，一个点是(0,0)，一个点是(n,0)，其余所有点的横坐标均大于0小于n，纵坐标均大于0。A国有一个不在(0,0)和(n,0)的首都。(0,0),(n,0)和首都这三个城市是一定需要保护的。

（别瞅了，luogu没有图）

输入输出格式

输入格式：

第一行，三个整数n,x,y分别表示河边城市和首都是(0,0)，(n,0)，(x,y)。

第二行，一个整数m。

接下来m行，每行两个整数a,b表示A国的一个非首都非河边城市的坐标为(a,b)。

再接下来一个整数q，表示修改和询问总数。

接下来q行每行要么形如1 i，要么形如2，分别表示撤销第i个城市的保护和询问。

输出格式：

对于每个询问输出1行，一个实数v，表示修建防线的花费，保留两位小数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 2 1
2
1 2
3 2
5
2
1 1
2
1 2
2

输出样例#1： 复制

6.47
5.84
4.47

说明

数据范围：

30%的数据m<=1000,q<=1000

100%的数据m<=100000,q<=200000,n>1

所有点的坐标范围均在10000以内, 数据保证没有重点

想了好久，也码了好久。刚开始没有想到时光倒流，往cdq去想了。平衡树也很难操作。

最后看了发题解——艹，怎么又没想到时光倒流！

时光倒流以后，就相当于维护一个支持单点更新的上凸包，并求周长-n。

还好题目限制好了，不然要烦死、、

那我们采取这样的方法：

插入一个点时，先判断在不在凸包内。如果不在，则向两边维护一个凸包，直到不能删点或者符合一个凸包时停止。

其中判断是否在凸包内，通过找两个点，一个前驱，一个后缀，都在凸包边上。

其中，设当前插入点为c，前缀为u，后缀为v，满足u.x<c.x||u.x==c.x&&u.y<c.y，v.x>c.x||v.x==c.x&&v.y>c.y。

如果cross(c-u,v-u)>0（cross表示两个向量叉积），则说明c在凸包内。

否则向两边维护更新凸壳。

根据对称性，我们只取向左边的进行研究。

设u为凸包上c的前缀，v为凸包上u的前缀。

当然如果u(0,0)，那么就退出了，(0,0)是不能删的。

否则如果cross(c-v,u-v)>0，则维护好了，退出，否则就删了u，继续。

至此，维护单点更新成功了，且复杂度正确，因为，每个点最多插入一次，删除一次。

其中求pre，suc可以看做是连带的，换句话说，次数和删除操作次数差不多（倍数在常数级）。

这里的复杂度大致就是nlogn基本的。

但是同样，我们会有一个棘手的问题->计算周长。

如果每次找凸包上每个点的前驱后缀计算感觉会很慢，也很难写。

如果我们在删点，加点时就计算，是不是就比较快呢？

不过要注意，不要漏删一条边或多加一条边，细节还是有点的。

还有，其中前驱后缀插入删除都是平衡树的操作。

(splay比stl快?无意抢了luogu'rank1，233)

code：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #define ms(a,x) memset(a,x,sizeof a)
 using namespace std;

 void OJ() {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
         freopen("in.txt","r",stdin);
         freopen("out.txt","w",stdout);
     #endif
 }
 namespace fastIO {
     #define gec(c) getchar(c)
     #define puc(c) putchar(c)
     char ch;
     inline int read() {
         ,f=; ch=getchar();
         ') {
             if (ch=='-') f=-f;
             ch=gec();
         }
         ') {
             x=(x<<)+(x<<)+ch-';
             ch=getchar();
         }
         return x*f;
     }
 } using namespace fastIO;

 ;
 int n,m,q,las;
 bool vis[N]; double ans[N];
 struct query {
     int t,x;
 } o[N];

 #define SplayTree node
 struct SplayTree {
     int X,Y;
     node* c[];
     node () {
         X=Y=;
         c[]=c[]=c[]=;
     }
 } * ro,* g,* U,* V,* re;

 #define vec city
 struct city {
     int x,y;
     city () {}
     city (int _x,int _y) :
         x(_x),y(_y) {};
     city (node* u) :
         x(u->X),y(u->Y) {};
 } a[N];
 int cross (vec u,vec v) {
     return u.x*v.y-u.y*v.x;
 }
 vec operator - (city u,city v) {
     return vec(u.x-v.x,u.y-v.y);
 }
 node* noded (city u) {
     node* rt=new node();
     rt->X=u.x,rt->Y=u.y;
     return rt;
 }
 void setup (node* &x,int X,int Y) {
     x=new node(),x->X=X,x->Y=Y;
 }
 bool dir (node* x) {
     ]) ;
     ]->c[]==x;
 }
 void linknode (node* y,node* x,bool p) {
     ]=y;
     if (y) y->c[p]=x;
 }
 void rotate (node* x) {
     ];
     linknode(y->c[],x,dir(y));
     linknode(y,x->c[p^],p);
     linknode(x,y,p^);
 }
 void splay (node* x,node* an) {
     ]==an) return;
     ]!=an) {
         ]->c[]==an) {
             rotate(x);
             if (!an) ro=x;
             return;
         }
         rotate(dir(x)^dir(x->c[])?x:x->c[]);
         rotate(x);
     }
     if (!an) ro=x;
 }
 bool cmp (node* u,node* v) {
     return u->X==v->X?u->Y<v->Y:u->X<v->X;
 }
 void insert (node* &x,node* u) {
     if (!x) {
         g=x=u;
         return;
     }
     bool p=cmp(x,u);
     insert(x->c[p],u),x->c[p]->c[]=x;
 }
 void erase (node* u) {
     splay(u,);
     ]||!ro->c[]) {
         ]) ro=ro->c[],ro->c[]=; else
         ]) ro=ro->c[],ro->c[]=; else
         ro=;
         return;
     }
     ]; re->c[]; re=re->c[]) ;
     splay(re,ro);
     re->c[]=,re->c[]=ro->c[];
     ]) re->c[]->c[]=re;
     ro=re;
 }
 bool cmp_1 (node* u,node* v) {
     return u->X==v->X?u->Y<v->Y:u->X<v->X;
 }
 bool cmp_2 (node* u,node* v) {
     return u->X==v->X?u->Y>v->Y:u->X>v->X;
 }
 void pre (node* x,node* u) {
     if (!x) return;
     ],u);
     ],u);
 }
 void suc (node* x,node* u) {
     if (!x) return;
     ],u);
     ],u);
 }
 #define sqr(x) ((x)*(x))
 double dis (node* u,node* v) {
     return sqrt(sqr(u->X-v->X)+sqr(u->Y-v->Y));
 }
 void maintain () {
     pre(ro,g),U=re,suc(ro,g),V=re;
     ) return;
     ||U->Y!=||V->X!=n||V->Y!=) ans[]-=dis(U,V);
     for ( ; ; ) {
         pre(ro,g),U=re;
         &&U->Y==) {
             ans[]+=dis(g,U);
             break;
         }
         pre(ro,U),V=re;
         ) {
             ans[]+=dis(g,U);
             break;
         }
         ans[]-=dis(U,V);
         erase(U);
     }
     for ( ; ; ) {
         suc(ro,g),U=re;
         ) {
             ans[]+=dis(g,U);
             break;
         }
         suc(ro,U),V=re;
         ) {
             ans[]+=dis(g,U);
             break;
         }
         ans[]-=dis(U,V);
         erase(U);
     }
     insert(ro,g);
     splay(g,);
 }

 int main() {
     OJ();
     n=read(),a[].x=read(),a[].y=read();
     m=read(),a[m+]=city(,),a[m+]=city(n,);
     ; i<=m; ++i) {
         a[i].x=read(),a[i].y=read();
     }
     ms(vis,);
     q=read();
     ; i<=q; ++i) {
         o[i].t=read();
         ) o[i].x=read();
         vis[o[i].x]=;
     }
     ro=;
     insert(ro,noded(a[]));
     insert(ro,noded(a[m+]));
     insert(ro,noded(a[m+]));
     ans[]=dis(noded(a[]),noded(a[m+]))+dis(noded(a[]),noded(a[m+]));
     ; i<=m; ++i) {
         if (vis[i]) g=noded(a[i]),maintain();
     }
     for (int i=q; i; --i) {
         ) g=noded(a[o[i].x]),maintain();
         ];
     }
     ; i<=q; ++i) {
         ) printf("%.2lf\n",ans[i]);
     }
     ;
 }