BZOJ 4591 【SHOI2015】 超能粒子炮·改

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　　这道题的大体思路就是用\(lucas\)定理，然后合并同类项，就可以得到一个可以递归算的式子了。

　　我们用\(S(n,k)\)表示答案，\(p\)表示模数(\(2333\)是一个质数)，那么有：

\begin{aligned}
S(n,k)&=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i} \\
&=\sum_{i=0}^k\binom{n\bmod p}{i \bmod p}\binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{i}{p} \rfloor}
\end{aligned}

　　为了接下来方便表示，不妨设\(k=k_1p+k_2(k_2<p)\)

　　我们按\(\lfloor \frac{i}{p} \rfloor\)的值进行分类计算。由于前面有\(k_1\)块是满的，最后一块不满，所以分两部分计算。

\begin{aligned}
S(n,k) &=\sum_{i=0}^k\binom{n\bmod p}{i \bmod p}\binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{i}{p} \rfloor} \\
&=\sum_{i=0}^{k_1-1}\binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{i}\sum_{j=0}^{p-1}\binom{n \bmod p}{j}+\sum_{i=k_1p}^k\binom{n \bmod p}{i \bmod p}\binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{i}{p} \rfloor} \\
&=S(\lfloor \frac{n}{p} \rfloor,k_1-1)S(n \bmod p,p-1)+\binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{k_1}S(n \bmod p,k \bmod p)
\end{aligned}

　所以预处理\(p\)以内的组合数以及组合数的前缀和就可以递归算了。组合数用\(lucas\)算一算就好。