「Log」做题记录 2023.9.25-2023.10.29

\(2023.9.25-2023.10.1\)

\(\color{limegreen}{P3524}\)

考虑删掉两个不相连的点，这两个点必定一个在团内一个在团外，删掉 \(\frac{n}{3}\) 个点对之后一定保证剩下的点都在我们要的团内。

\(\color{limegreen}{P3522}\)

单调队列维护一下左右端点，加入时取交即可。

\(\color{royalblue}{P3520}\)

考虑到性质类似欧拉图，求欧拉回路缩环时求解即可。

\(\color{royalblue}{P3518}\)

考虑到性质：若 \(a\) 为密码，则 \(\gcd(n,a)\) 一定为密码，并且其倍数也是，求最小的合法 \(d|\gcd(n,x)\)，有答案 \(\frac{n}{d}\)。

\(\color{royalblue}{P3528}\)

塞到堆里贪心即可。

\(\color{royalblue}{P3521}\)

类似 CDQ 的，线段树合并的过程中求解即可。

\(\color{blueviolet}{P3519}\)

存下每个字符出现的所有位置，枚举最多、最少字符，将两个字符出现位置拿出来合并扫一遍求最大子段和即可，均摊复杂度正确。

\(\color{blueviolet}{P3527}\)

较为板的整体二分，思路奇妙。

\(\color{blueviolet}{P3523}\)

二分+树形 DP 验证。

\(\color{royalblue}{CF1795E}\)

先变成单峰最优，DP一下就行。

\(\color{blueviolet}{CF1794E}\)

对于每种距离存个哈希跑就行了。

\(\color{blueviolet}{P3525}\)

结论题，只有重心有解，写就完了。

\(\color{black}{P3516}\)

构造题，不知道为啥是黑的，贪心一下就行。

\(\color{blueviolet}{CF1486F}\)

讨论 LCA 相同与不相同，相同的拿个桶就解决了，不同的拿树状数组区间加和算贡献。

\(\color{blueviolet}{P3560}\)

最大流，考虑每次限制源点流量，跑残余网络。

\(\color{limegreen}{P3560}\)

贪心地扫一遍。

\(\color{limegreen}{P3558}\)

注意到性质后直接 DP 即可。

\(\color{limegreen}{P3550}\)

巨大细节贪心。

\(\color{limegreen}{P3551}\)

逆着思考，贪心即可。

\(\color{royalblue}{P3556}\)

离线处理，维护最小奇偶距离。

\(\color{royalblue}{P3557}\)

注意到一种性质使得直接构造成为正解。

\(\color{blueviolet}{P3554}\)

二分+DP 验证。

\(\color{blueviolet}{P3563}\)

最小值是直接一层正边一层反边使得一个边贡献一个点对，最大值不难想到找重心的所有子树做背包，恶心的是需要 bitset 优化，阴间的。

\(\color{blueviolet}{P3553}\)

二分+模拟验证。

\(\color{royalblue}{P3579}\)

整除分块即可。

\(\color{royalblue}{P3567}\)

主席树板子。

\(\color{blueviolet}{P3566}\)

从多到少放置即可。

\(\color{blueviolet}{P5952}\)

把墙看作边，跑最小生成树的时候维护一下答案即可。

\(\color{blueviolet}{P6663}\)

构造题，在最小值基础上回转构造即可。

\(\color{blueviolet}{P3515}\)

考虑到贡献只会有 \(\sqrt n\) 个数产生，直接枚举。

\(\color{blueviolet}{P3562}\)

按照斜率排序跑 DP 即可。

\(\color{blueviolet}{P5955}\)

贪心的选，双指针扫一圈。

\(2023.10.2-2023.10.8\)

\(\color{black}{P3547}\)

分类讨论，然后删边优化复杂度。

\(\color{blueviolet}{P3576}\)

倒推即可。

\(\color{blueviolet}{P3580}\)

单调队列优化 DP。

\(\color{blueviolet}{P3575}\)

乱搞。

\(\color{blueviolet}{P3564}\)

做前缀和，考虑到相邻位置只会相差一，贪心即可。

\(\color{blueviolet}{P3569}\)

维护区间左右端点情况。

\(\color{blueviolet}{P3565}\)

\(n^2\) 统计一下即可。

\(\color{blueviolet}{P3574}\)

树 DP 一下。

\(\color{blueviolet}{P7561}\)

二分+set 搞一下。

\(\color{blueviolet}{P9521}\)

化式子后维护凸包。

\(\color{royalblue}{P3536}\)

记录每个数取到哪里，打标记即可，复杂度线性自然对数。

\(\color{blueviolet}{P3540}\)

设 \(x_i\) 从小到大排序，则 \(x_2+x_3\) 会带来不确定性，枚举其位置即可。

\(\color{blueviolet}{P3539}\)

每次找最的斐波那契数即可，递归运算，只会越来越小。

\(\color{blueviolet}{P3532}\)

考虑枚举 \(\gcd\)，预处理一下最小次小质因数分解指数和的倍数即可。

\(\color{blueviolet}{P3534}\)

神仙贪心。

\(\color{blueviolet}{P3570}\)

记录位置随便处理即可。

\(\color{royalblue}{CF1775E}\)

转成前缀和一眼切。

\(\color{blueviolet}{CF1253F}\)

考虑经过一条边的限制，列不等式后可以最小生成树。

\(\color{blueviolet}{CF1736E}\)

DP。

\(\color{blueviolet}{CF908G}\)

数位 DP。

\(\color{royalblue}{P5058}\)

圆方树板子。

\(\color{blueviolet}{P3542}\)

处理上界，从小向大贪心。

\(\color{royalblue}{P3531}\)

直接转逆序对数。

\(\color{blueviolet}{P4320}\)

建圆方树，求两点路径之间圆点数量。

\(\color{blueviolet}{CF997C}\)

化简式子直球。

\(\color{royalblue}{CF991D}\)

贪心可行。

\(\color{blueviolet}{P4606}\)

圆方树，询问点按照 DFS 序排序，计算贡献。

\(\color{blueviolet}{P4630}\)

圆方树+树 DP。

\(\color{blueviolet}{CF487E}\)

圆方树+树剖。

\(2023.10.9-2023.10.15\)

\(\color{blueviolet}{CF1763F}\)

直接圆方树即可。

\(\color{blueviolet}{P3577}\)

根据深度不超过 \(10\) 进行状压。

\(\color{blueviolet}{P3530}\)

差分约束型连边，根据强联通分量统计贡献。

\(\color{blueviolet}{P3546}\)

一个强联通分量答案固定，多个之间互不影响，考虑一个强连通分量贡献即 \(\min\{dis(i,j) + 1\}\)（\(i,j\) 都为其中的点），Floyd 求解即可。

\(\color{blueviolet}{P3533}\)

分讨点对情况，倍增维护一下随便做了。

\(\color{black}{P3543}\)

先转换为差分，套一个 exgcd，求出特解之后调和即可。

\(\color{blueviolet}{CF1059E}\)

倍增后预处理每个点最多向上扩展到哪里，从叶子节点向上贪心即可。

\(\color{blueviolet}{P3976}\)

大力树剖。

\(\color{royalblue}{CF40E}\)

考虑到有一行或一列一定空着，去掉了一维限制，剩下的随便搞。

\(\color{blueviolet}{P4381}\)

求基环森林直径和，讨论直径情况，对于经过环的直径可以进行单调队列优化。

\(\color{limegreen}{AT\_abc243\_e}\)

考虑一条边被删的充要条件即可。

\(\color{royalblue}{AT\_abc243\_f}\)

考虑线性 DP，将前一些个拿出来抽取一些。

\(\color{royalblue}{CF466E}\)

离线下来乱搞，转换为判断一个点在不在一条直链（不拐弯）上。

\(\color{blueviolet}{CF838B}\)

大力树剖，简单维护一下子树内信息随便做。

\(\color{blueviolet}{CF1778F}\)

注意到值域很小，打进 DP 状态，约数个数级别在 \(\sqrt V\)，随便做（虽然赛时没切出来）。

\(\color{blueviolet}{CF1632E1}\)(\(\color{blueviolet}{CF1632E2}\) 双倍经验)

考虑对于一个 \(x\)，可以列出关于 \(ans_x\) 的不等式，求虚树直径即可，简单维护后根据 \(ans\) 单调性 \(O(n)\) 做。

\(\color{royalblue}{AT\_abc243\_g}\)

不难想到 \(\sqrt n\) DP，考虑计算重复贡献方式即可做到 \(n^{\frac{1}{4}}\)。

\(\color{blueviolet}{P7961}\)

DP，状态很妙。

\(\color{limegreen}{AT\_abc242\_e}\)

考虑是否顶到上限，对每一位做一下就行。

\(\color{royalblue}{AT\_abc242\_f}\)

考虑黑车放完之后白车贡献是好算的，设 \(f_{i,j,k}\) 表示用 \(i\) 辆车刚好占用 \(j\) 行 \(k\) 列，转移是好推的。

\(\color{royalblue}{AT\_abc242\_g}\)

莫队板子。

\(\color{royalblue}{CF912D}\)

考虑每只鱼的贡献，贪心地从中间向四周放，堆 + BFS 即可。

\(\color{royalblue}{CF840B}\)

一条无向边贡献两个度数，所以度数一定为偶数，并且偶数一定有解，DFS 构造即可。

\(\color{royalblue}{CF1037E}\)

倒序处理删点即可。

\(\color{royalblue}{CF1278D}\)

树的边数一定为 \(n - 1\)，大于这个边就停止，否则就并查集维护连通性。

\(\color{blueviolet}{CF229C}\)

纯纯数学题，简单的。

\(\color{blueviolet}{CF1082E}\)

转换为区间内众数出现次数与此区间内 \(c\) 个数差值最大值，维护前缀和处理即可。

\(\color{blueviolet}{CF859E}\)

连有向边之后分讨即可。

\(\color{royalblue}{CF893E}\)

不难想到按照质因数处理，正负分开做，排列组合即可。

\(\color{blueviolet}{CF746G}\)

每层有叶子数量的上下限，求出后构造即可。

\(2023.10.16-2023.10.22\)

\(\color{royalblue}{CF1201D}\)

因为只能从下向上走，所以就只用一行一行考虑，对于一行显著从一头走到另一头是最优的，所以记录 \(f_{i,0/1}\) 表示取完第 \(i\) 行后在左 / 右的最少行走数量，至于安全列的限制只要预处理左右最近的安全列即可。

\(\color{blueviolet}{CF346B}\)

LCS 问题基础上多加一维，记录第三个串匹配了多少，记一个 KMP 的 \(nex\) 数组即可。

\(\color{blueviolet}{CF509C}\)

贪心地，一定是从低位向高位放 \(9\) 使得一个数尽量小，在此基础上，枚举当前数字哪一位第一次比上一个数字大并且合法，最小的显然最优。

\(\color{blueviolet}{CF354C}\)

枚举公因数，找合法区间，桶前缀记一下就解决了，复杂度线性自然对数。

\(\color{blueviolet}{CF1152D}\)

贪心地，考虑偶数深度点都选最优，类似卡特兰数的递推求解即可。

\(\color{blueviolet}{P3302}\)

不考虑连边操作就简单地主席树即可，连边启发式合并就行。

\(\color{blueviolet}{CF1146F}\)

DP，三种状态是显然的，只要注意转移即可，每次将一个子树合并到当前处理过的子树中。

\(\color{blueviolet}{CF1583F}\)

神仙构造题，题解塞到套题里面。

\(\color{blueviolet}{P4768}\)

预处理到 \(1\) 的距离，然后 Kruskal 重构树简单倍增维护一下即可。

\(\color{blueviolet}{P4322}\)

式子是显著的，考虑分数规划，二分后树 DP 也是显著的。

\(\color{blueviolet}{P6087}\)

显著的分数规划，需要注意的是可能出现区间长度小于 \(L\) 的解，所以要扩展至 \(L\) 进行特殊处理。

单调队列边界寄了，调了好一会。

\(\color{blueviolet}{P2473}\)

状态是显著的，但正着转移并不可以，因为状态分布不均匀，没法直接算方案数，所以倒着转移。

感觉是典型的题，有点神仙（大概吧）。概率正着推，期望逆着推。（题解里的话。）

\(\color{blueviolet}{P4197}\)

思路是显著的，Kruskal 重构树后上主席树查询（按照 DFS 序建即可）。

\(\color{blueviolet}{P3209}\)

2-SAT。

\(\color{blueviolet}{CF27D}\)

2-SAT。

\(\color{blueviolet}{CF1030E}\)

不难想到结论，序列必须 \(1\) 数量为偶数并且最大的 \(1\) 个数不能超过总和一半。

\(\color{blueviolet}{P1505}\)

树剖，简单的。

\(2023.10.23-2023.10.29\)

\(\color{blueviolet}{P6348}\)

显著的线段树优化建图。

\(\color{blueviolet}{P2482}\)

猪国杀，巨大模拟。

\(\color{royalblue}{CF1772G}\)

首先从小往大打，对于每一轮有一个正负分界点，考虑分界点后移情况，细节处理即可。

\(\color{blueviolet}{CF369E}\)

正难则反，转化为二维数点，二维偏序即可。

\(\color{blueviolet}{CF348C}\)

根号分治，超过根号级别的集合一共有不超过根号个，打标记处理即可。

\(\color{blueviolet}{CF1495D}\)

考虑对于 \(x\) 和 \(y\) 共同的生成树一定包含两者的最短路径。

先假设 \(x, y\) 最短路径有且只有一条，考虑其上一点 \(z\)，\(x, y\) 两者中一者到其最短路径依然有且只有一条，为了满足 \(dis(x, z), dis(y, z)\) 不变，必须保留此最短路。

当 \(x, y\) 最短路径不止一条时，对于这两条路径上的点依然需要满足上述 \(z\) 的条件，因此多条最短路都需要保留，此时一定会成环，无法保持树的形态，也就一定无解。

现在对于 \(x, y\) 两点已有一条唯一的链链接，考虑其他点如何挂在树上。对于一个点 \(u\) 有边 \((u, v)\)，若保留此边（使得 \(v\) 为 \(u\) 的父节点）必须满足 \(dis(x, v) + 1 = dis(x, u) \land dis(y, v) + 1 = dis(y, u)\)。所以我们对于一个点找出其合法父节点个数，对所有的点乘法原理计数即可。

\(\color{blueviolet}{CF1511G}\)

首先转化问题，对于一个询问只要判断 \(\bigoplus \limits _{l \le c_i \le r} c_i - l\) 是否等于 \(0\) 即可。

设 \(f_{i, j}\) 表示 \(\bigoplus \limits _{i \le c_i \le i + 2 ^ j - 1} c_i - i\)，考虑如何倍增转移。

\(f_{i, j}\) 由 \(f_{i, j - 1}\) 与 \(f_{i + 2 ^ {j - 1} - 1, j - 1}\) 两部分组成，前者的异或和可以直接转移过来，后者包括的元素每个会与需要的值相差 \(2 ^ {j - 1}\)，所以需要额外异或上后者元素个数个 \(2 ^ {j - 1}\)，只需要通前缀和维护一下区间元素个数即可。

\[f_{i, j} = f_{i, j - 1} \oplus f_{i + 2 ^ {j - 1} - 1, j - 1} \oplus \left([(g_{i + 2 ^ j - 1} - g_{i + 2 ^ {j - 1} - 1}) \mod 2 = 1] \times 2 ^ {j - 1} \right)
\]

求答案也是类似的，倍增逼近即可。

\(\color{blueviolet}{CF1510B}\)

首先考虑转化问题，进行简单图论建模，每个状态向可以达到的状态连边，于是得到一张 DAG。

首先考虑最劣情况，对于每一个点单独成为一条路径进行覆盖，贡献是其二进制下 \(1\) 的个数。每一个点可以选择一个出边把自己贡献抵消掉，这个就类似二分图最大匹配，费用流即可。

\(\color{blueviolet}{CF1539F}\)

我们只考虑 \(a_i\) 大于中位数的情况，另一情况可以通过取负反转数组取到相同情况，式子只有一个加减 \(1\) 不同。

区间固定时贡献是 \(\frac{t_l + t_m + t_r}{2} - t_r = \left \lfloor \frac{t_l + t_m - t_r}{2} \right \rfloor\)。

其中 \(t_l, t_m, t_r\) 分别表示小于、等于、大于 \(a_i\) 的 数字个数。

然后运用到一个套路，对于这种中位数的东西离线并从小到大遍历数字，比自己小的设为 \(-1\)，比自己大的设为 \(1\)，求一下以 \(i\) 结尾的后缀最大、以其开头的前缀最大，求和即可。

\(\color{blueviolet}{CF1469F}\)

首先注意到先挂长链更优，并且将中点挂在树上是更优的，可以使得整体深度更小。

设 \(fa\) 为链挂在上面的点，则会使得深度为 \(dep_{fa}\) 的点减少一个，并增加连续深度的两段点数，用线段树维护即可，注意分讨奇偶即可，以及注意空间。

\(\color{blueviolet}{CF1523E}\)

从期望的定义入手，转化为对在第 \(i\) 次仍没结束的概率求和，转化为古典概型直接排列组合即可。

\(\color{royalblue}{CF1515G}\)

首先一定要在强连通分量中进行求解，并且强连通分量里的环可以选择经过多次，次数可以是负数，因为模意义下是等价的，于是我们将所有的基本环找出来后用裴蜀定理求解即可。