[SD2015]序列统计——solution
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3992
很容易得出DP方程:
f[i][c]=f[i-1][a]*f[1][b]①
其中a*b%M=c
f第一位为当前数列长度,第二维为当前数列模M意义下的乘积
考虑从一开始就剔除第二维为0的情况——把它单独考虑,一来她好算,二来她不影响其他结果
若将f[i-1][a]展开;
则:
$$f[i][c]=\sum_{a_1=1}^M\sum_{a_2=1}^M...\sum_{a_i=1}^M([\Pi_{j=1}^ia_j(mod)M=c]\Pi_{j=1}^if[1][a_j])$$②
把f[1]的所有第二维取值得出的结果构造为多项式,记为$f_1(x)$
$$f_1(x)=map[0]x^0+map[1]x^1+map[2]x^2...map[m-1]x^{m-1}$$③
其中,map[i]为i数字在S中出现的次数,同样的,map[i]=f[1][i]
于是:
$$f_i(x)=\sum_{j=1}^{m-1}a_{i,j}*x^j$$④
其中$$a_{i,j}=\sum_{x=kj}\sum_{d|x}a_{i-1,d}*a_{1,{x \over d}}$$
当然$a_{x,y}=f[x][y]$
于是发现①,是多项式在模意义下的狄利克雷卷积;
而②,则是其在模意义下的狄利克雷卷积的乘幂
然而这个东西不能快速运算;
尝试转换这些式子;
看①,发现c取值在1到M-1之间,而$g^x$(其中g为M的原根)在x取0到M-2时可取遍1到M-1
不妨依此改写①
设$g^{e_x}=x$
$$f[i][g^{e_c}]=f[i-1][g^{e_a}]*f[1][g^{e_b}],e_c=(e_a+e_b)(mod)(M-1)$$
$$ff[i][e_c]=ff[i-1][e_a]*f[1][e_b],e_c=(e_a+e_b)(mod)(M-1)$$⑤
ff与f同构,求f[i][x]等价于求ff[i][e_x];
于是发现⑤,是多项式在模意义下的卷积;
NTT计算,加多项式取模;
如果把ff写成类似f的②的形式,则他是多项式在模意义下的卷积的乘幂;
快速幂优化
总效率$O(M*log_2M*log_2N)$
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=;
int N,M,X,S,len;
int rat[],map[],b[];
LL a[],ans[],g[],aa[];
LL Sqr_num(LL ,int );
void get_b(int );
void Sqr(int );
void pol_mul(LL a[],LL b[]);
int get_len(int );
void ra(LL f[]);
void NTT(LL f[],int t);
int main(){
int i,j,k;
scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&S);
for(i=;i<=S;i++){
scanf("%d",&j);
map[j]++;
}
if(X==){
printf("%lld",(Sqr_num(S,N)+mod-Sqr_num(S-map[],N))%mod);
return ;
}
get_b(M);M--;
for(i=;i<=M;i++)
a[b[i]%(M)]=map[i]%mod;
Sqr(N);
printf("%lld",ans[b[X]%M]);
return ;
}
LL Sqr_num(LL x,int n){
LL ret=;
while(n){
if(n&)(ret*=x)%=mod;
n>>=;(x*=x)%=mod;
}
return ret;
}
void get_b(int p){
int i,j,f=,ij,g;
for(i=;i<p;i++){
ij=;f=;
for(j=;j<p;j++){
(ij*=i)%=p;
if(j!=p-&&ij%p==)
break;
else
if(j==p-&&ij%p==)
f=;
}
if(f){
g=i;break;
}
}
ij=;
for(i=;i<p;i++){
(ij*=g)%=p;
b[ij]=i;
}
}
void Sqr(int n){
int i,fl=;
len=get_len(M);
rat[]=;
for(i=;i<len;i++)
rat[i]=rat[i>>]>>|((i&)*(len>>));
while(n){
if(n&){
if(!fl){
for(i=;i<M;i++)ans[i]=a[i];
fl=;
}
else
pol_mul(ans,a);
}
n>>=;
for(i=;i<M;i++)
aa[i]=a[i];
pol_mul(a,aa);
}
}
void pol_mul(LL a[],LL b[]){
int i,j,k;
for(i=M;i<len;i++)
a[i]=,b[i]=;
NTT(a,);NTT(b,);
for(i=;i<len;i++)
a[i]=a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,-);NTT(b,-);
for(i=;i<M;i++)
a[i]=(a[i]+a[i+M])%mod;
}
int get_len(int n){
int ret=;
while(ret<(n<<))ret<<=;
return ret;
}
void ra(LL f[]){
int i;
for(i=;i<len;i++)
if(rat[i]>i)
swap(f[i],f[rat[i]]);
}
void NTT(LL f[],int t){
int i,j,k,lim;
int f0,f1;
ra(f);
for(k=;k<=len;k<<=){
lim=k>>;
g[]=;
g[]=Sqr_num(,t>?(mod-)/k:mod--(mod-)/k);
for(i=;i<lim;i++)
g[i]=g[i-]*g[]%mod;
for(i=;i<len;i+=k){
for(j=i;j<i+lim;j++){
f0=f[j];f1=g[j-i]*f[j+lim]%mod;
f[j]=(f0+f1)%mod;f[j+lim]=(f0-f1+mod)%mod;
}
}
}
if(t<){
LL inv=Sqr_num(len,mod-);
for(i=;i<len;i++)
(f[i]*=inv)%=mod;
}
}
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