[SCOI2016]萌萌哒（倍增+并查集）

当区间\([a,b]\)和\([c,d]\)对应相等时。

我们把两个区间对应位置上的数所在并查集合并。

最后并查集的数量为\(num\)答案就是\(9*10^num\)因为是个数，不能有前置\(0\)。

但是两个区间对应位置上的数所在并查集合并太浪费时间。

怎么办。

考虑使用倍增。

我们用\((i,j)\)代表\([i,i+(1<<j)-1]\)这个区间然后任何一个区间最多可以\(log\)个这样的倍增的区间拼起来。

然后呢？

我们按倍增区间的大小从大往小枚举。当\((x,i)\)和\((y,i)\)在一个并查集里时，\((x,i-1)\)和\((y,i-1)\)在一个并查集里。\((x+(1<<i-1),i-1)\)和\((y+(1<<i-1),i-1)\)也在一个并查集里。我们把这两对倍增区间所在并查集合并，最后长度为\(1\)的元素所在并查集也被合并。复杂度为\(O(nlogn)\)。

吐槽一波题目

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
const int N=101000;
int fa[N*22],id[N][22],pw[22],n,m,ans,book[N],tot,xb[N*22],l[N*22];
int find(int x){
	if(fa[x]==x)return x;
	else return fa[x]=find(fa[x]);
}
int ksm(int x,int b){
	int tmp=1;
	while(b){
		if(b&1)tmp=tmp*x%mod;
		b>>=1;
		x=x*x%mod;
	}
	return tmp;
}
int read(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
void pre_work(int x){
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=20;i++)pw[i]=pw[i-1]*2;
	int len=log2(x);
	for(int j=0;j<=len;j++)
		for(int i=1;i+pw[j]-1<=n;i++)
			id[i][j]=++tot,xb[tot]=i,l[tot]=j,fa[tot]=tot;
}
signed main(){
	n=read();m=read();
	pre_work(n);
	while(m--){
		int a=read(),b=read();
		int c=read(),d=read();
		for(int i=20;i>=0;i--)
			if(a+pw[i]-1<=b){
				int x=find(id[a][i]),y=find(id[c][i]);
				if(x!=y)fa[x]=y;
				a=a+pw[i];c=c+pw[i];
			}
	}
	int len=log2(n);
	for(int j=len;j>=1;j--)
		for(int i=1;i+pw[j]-1<=n;i++){
			int f=find(id[i][j]);
			int x=find(id[i][j-1]);
			int y=find(id[xb[f]][l[f]-1]);
			if(x!=y)fa[x]=y;
			x=find(id[i+pw[j-1]][j-1]);
			y=find(id[xb[f]+pw[l[f]-1]][l[f]-1]);
			if(x!=y)fa[x]=y;
		}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=find(id[i][0]);
		if(book[x]==0)ans++,book[x]=1;
	}
	printf("%lld",9ll*ksm(10,ans-1)%mod);
	return 0;
}