【2018.11.22】CTSC2018（模拟赛！）

太蠢了……$noip$ 后第一次模拟赛竟然是这样的……完全就是打击自信 / 降智……

1. 假面

一道神仙概率 $dp$！第一次写……

拿到题就发现血量 $m_i$ 的上限只有 $100$！

然后 $0$ 操作就可以用 $rate(i,j)$ 动态维护第 $i$ 个人血量为 $j$ 的概率啦。

$1$ 操作比较麻烦（但是它故意弄得很少）。

设 $live_i$ 和 $dead_i$ 分别为 $1$ 操作范围内的第 $i$ 个人活着和死了的概率，$g_{i,j}$ 是除 $i$ 以外有 $j$ 个人活着的概率。

第 $i$ 个人的答案就是 $live_i\times \sum_{j=0}^{k-1} \frac{1}{j+1}\times g_{i,j}$，其中 $\times \sum_{j=0}^{k-1}$ 是因为等概率攻击自己和其它 $j$ 个人（自己必定活着，因为自己的答案是命中自己的概率）。

但是 $g_{i,j}$ 怎么求？我们发现它的原型是这样一个 $dp$：设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个人有 $j$ 个活着的概率。

不难看出它是能递推出来的：$ f_{i,j} = f_{i-1,j-1} \times alive_i + f_{i-1,j} \times dead_i$

而且它最终转移出的总共 $k$ 个人的概率 与转移顺序无关，所以把当前求答案的这个人放到最后，然后不算他，推出的前 $k-1$ 个人的概率 $f_{k-1}$ 就是 $g_i$ 了。

每次最多有 $k$ 个人要求答案，套上述 $O(n^2)$ $dp$，时间复杂度是 $O(C\times n^3)$，能得 $70$ 分。

然后怎么优化？

$XJR$：我会 $FFT$！

不过他现场被卡成 $80$，事实证明 $200$ 个数的卷积算上常数 甚至比暴力还慢，$O(n^2\times log(n))$ 容易被卡成 $70$ 分。

$100$ 分就是（我）没弄过的一个操作了——倒推 $dp$。

什么意思？我们观察递推式 $ f_{i,j} = f_{i-1,j-1} \times alive_i + f_{i-1,j} \times dead_i$

它是可以简单反推的，即移项得到 $$f_{i-1, j} = \frac{f_{i, j} - f_{i -1, j - 1} \times live_i}{dead_i}$$

又因为答案与转移顺序无关，所以对于每个放到最后的要求答案的人，$f_{k-1}$ 可能会变，但 $f_k$ 一定不变。我们只需要从所有人的概率情况 $f_k$ 去掉当前求答案的人即可得到 $g_k$，而把这个人像上面一样放到第 $k$ 位时，由于上式可以从 $f_k$ 转移一次就得到 $f_{k-1}$，我们就可以一次求得 $g_i$。这样就不用像之前那样对于每个求答案的人重新从第 $1$ 到 $k-1$ 位递推一遍 $f$ 数组了（所以程序中的 $f$ 数组是一维的，最终存的是 $f_n$）。

$$f_{k-1, j} = \frac{f_{k, j} - f_{k -1, j - 1} \times live_k}{dead_k}$$

因为第 $k$ 个数是我们当前要求答案的第 $i$ 个人，所以 $live$ 和 $dead$ 的下标可以直接替换成 $i$，这样就省去了实际交换。

每次只是反推了一位，之前被各种博客无限误导为要整体反推一遍，然后无限瞎**理解，然后极其暴躁

2. 暴力写挂

我像是会边分治吗？

45pts：

$noip$ 难度，会写 欧拉序+RMQ 的 $O(1)$ 求 $lca$ 就行了。

100pts：

一个比较叼的线段树合并，作为一个初学者，别人的题解都好难看懂哦……杠了不少时间。

首先要知道这么一个不常用的计算链并长的方法：树上两点 $x,y$ 到根的链并长 = $[depth(x)+depth(y)+(depth(x)-depth(lca))+(depth(y)-depth(lca))] / 2$。

画个图就是

容易发现，四种颜色的边加起来之后，每条边都被算了两次，因此除以 $2$ 后每条边就只被算 $1$ 次了。

这里定义一个点 $x$ 的权值为 $depth(x)+(depth(x)-depth(lca))$。其中 $lca$ 会在之后枚举。

为什么要用这个？最后会提。

开始正题。

观察题目式子，发现前 $3$ 项是第一棵树上的，最后一项是第二棵树上的，好像不支持同时维护跨树的信息，所以我们枚举第二棵树的 $lca$。

也就是说，从第二棵树的根节点开始深搜遍历第二棵树。

那怎么解决第一棵子树？

我们注意到这样一个事情：一个点只对它的所有祖先节点有影响。

（这不是废话吗）

但正是这一点，让这个树上问题可以套个板子。

考虑一下不套板子的时候，直接做，怎么做？

如果我们固定了第一棵树的某个点为 $lca$，那我们只需要找这个点的所有子树中，子树中最大点权最大的两个，相加即可得到答案。

但我们只固定了第二棵树的 $lca$，所以我们可以反过来做，用第一个树中的点的权值更新其所有祖先节点。这样当之后祖先节点作为 $lca$ 时，只要取它被更新到的最大值和次大值，相加即可得到答案。

然而这样做复杂度并不对，因为树的深度一大，就有很多点有很多祖先节点，暴力更新的时间就炸了。

这时就可以套树分治板子了。我这用的是边分治（也可以用点分治做）。

众所周知，树分治就是通过重构树来让它尽量平衡一些，至少控制在 $log(n)$ 级别（二叉树）。然后我们就可以暴力枚举祖先什么的了。

而枚举第二棵树的 $lca$ 时，我们在之后对第一棵树做线段树合并时，只能枚举所有不能确定第一棵树的 $lca$