题目链接


\(Description\)

坐标轴正半轴上有\(n\)个垃圾,位置分别是\(x_i\)。在原点处有一个垃圾桶。一个机器人要从原点出发,将所有垃圾带到垃圾桶(原点)处。

机器人可以在坐标轴上任意移动。当路过一个垃圾时,可以选择花费\(X\)的能量捡起垃圾,也可以不管它。一旦捡起就不能放下,除非回到原点将其扔掉。回到原点时可以花费\(X\)的能量将自己携带的垃圾全部扔掉。当机器人携带\(k\)件垃圾时,每走一单位距离会花费\((k+1)^2\)的能量。

给定\(n,X\)及每个垃圾的坐标,求机器人扔掉所有垃圾的最小能量花费。

\(n\leq10^5,\ 0<x_1<...<x_n\leq10^9,\ X\leq10^9\)。

\(Solution\)

先把捡起和放下垃圾的花费去掉。枚举分\(k\)次扔垃圾,那么这部分花费就是\((n+k)\times X\)。

考虑某一次取了从左到右是\(a,b,c,d\)这四个位置的垃圾的花费:\(d+4(d-c)+9(c-b)+16(b-a)+25a\),化简后是\(5d+5c+7b+9a\)。也就是代价和位置有关,且最远和次远位置的系数是\(5\),更近的位置的系数是\(7,9,11...\)。

显然应该令这\(k\)次扔垃圾中,最远和次远的位置是最远的\(2k\)个点,然后依次往靠近原点的位置分系数即可。

枚举\(k\),每次选\(k\)个共选\(\frac nk\)次,复杂度\(O(n\ln n)\)。

注意一些很劣的方案会使结果爆long long?要特判。


//7ms	2048KB
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=2e5+5; LL s[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN; inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
return now;
} int main()
{
const int n=read(); LL X=read(),ans=X*n;
for(int i=1,a; i<=n; ++i) s[i]=s[i-1]+(a=read()), ans+=5ll*a;
for(int k=1; k<n; ++k)
{
LL tmp=X*k;
for(int i=n,j,t=1; i; i=j,++t)
{
j=std::max(i-k,0);
tmp+=(s[i]-s[j])*std::max(5ll,t*2+1ll);
if(tmp>ans) break;
}
ans=std::min(ans,tmp);
}
printf("%lld\n",ans+X*n); return 0;
}

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