【CF708E】Student's Camp 组合数+动态规划

【CF708E】Student's Camp

题意：有一个n*m的网格，每一秒钟，所有左面没有格子的格子会有p的概率消失，右面没有格子的格子也会有p的概率消失，问你t秒钟后，整个网格的上边界和下边界仍然连通的概率是多少。

$n,m\le 1500,t\le 10^6$。

题解：首先我们可以预处理出c数组，c[i]表示t秒钟后左边恰有i个格子消失的概率，这个用组合数算一算即可。又因为每一行的本质是相同的，所以令某一行最终剩下的格子是[l,r]的概率就是c[l-1]*c[m-r]。

然后考虑一个naive的DP。f[i][l][r]表示第i行剩下的是[l,r]，且第i行与上边界连通的概率。不难得到转移方程，并用前缀和优化可得：

$f[i][l][r]=(sr[i-1][m]-gr[i-1][l-1]-gl[i-1][r+1])\cdot c[l-1]\cdot c[r-m]$

其中$sr[i][r]=\sum\limits_{l=1}^rf[i][l][r],gr[i][r]=\sum\limits_{j=1}^rsr[i][j]$。

但是这个转移是$O(nm^2)$的，所以我们不能这么设状态。有一个套路：把f[i][l][r]换成fl[i][l]和fr[i][r]试试？

具体推导过程留给读者。时间复杂度$O(nm)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;

int n,m,t;
ll p;
ll ine[100010],jc[100010],jcc[100010],p1[100010],p2[100010];
ll fr[2][1510],fl[2][1510],sr[2][1510],sl[2][1510],gl[2][1510],gr[2][1510],sc[1510],c[1510];
inline ll pm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%P;
		x=x*x%P,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline ll C(int a,int b)
{
	if(a<b)	return 0;
	return jc[a]*jcc[b]%P*jcc[a-b]%P;
}
inline ll calc(int a)
{
	return C(t,a)*p1[a]%P*p2[t-a]%P;
}

int main()
{
	ll a,b;
	int i,j,d=0;
	scanf("%d%d%lld%lld%d",&n,&m,&a,&b,&t),p=a*pm(b,P-2)%P;
	ine[0]=ine[1]=jc[0]=jc[1]=jcc[0]=jcc[1]=1;
	for(i=2;i<=t;i++)	ine[i]=P-(P/i)*ine[P%i]%P,jc[i]=jc[i-1]*i%P,jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%P;
	for(p1[0]=p2[0]=i=1;i<=t;i++)	p1[i]=p1[i-1]*p%P,p2[i]=p2[i-1]*(1-p)%P;
	for(i=0;i<=m;i++)	c[i]=calc(i);
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)	a=c[j-1]*c[m-i]%P,fr[0][i]=(fr[0][i]+a)%P,fl[0][j]=(fl[0][j]+a)%P;
	for(i=1;i<=m;i++)	sr[0][i]=(sr[0][i-1]+fr[0][i])%P;
	for(i=m;i>=1;i--)	sl[0][i]=(sl[0][i+1]+fl[0][i])%P;
	for(i=1;i<=m;i++)	gr[0][i]=(gr[0][i-1]+sr[0][i]*c[i])%P;
	for(i=m;i>=1;i--)	gl[0][i]=(gl[0][i+1]+sl[0][i]*c[m-i+1])%P;
	for(i=0;i<=m;i++)	sc[i]=(sc[i-1]+c[i])%P;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		d^=1;
		memset(fl[d],0,sizeof(fl[d])),memset(fr[d],0,sizeof(fr[d]));
		memset(sl[d],0,sizeof(sl[d])),memset(sr[d],0,sizeof(sr[d]));
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			fr[d][j]=c[m-j]*((sr[d^1][m]-sl[d^1][j+1])*sc[j-1]%P-gr[d^1][j-1])%P;
			fl[d][j]=c[j-1]*((sr[d^1][m]-sr[d^1][j-1])*sc[m-j]%P-gl[d^1][j+1])%P;
		}
		for(j=1;j<=m;j++)	sr[d][j]=(sr[d][j-1]+fr[d][j])%P;
		for(j=m;j>=1;j--)	sl[d][j]=(sl[d][j+1]+fl[d][j])%P;
		for(j=1;j<=m;j++)	gr[d][j]=(gr[d][j-1]+sr[d][j]*c[j])%P;
		for(j=m;j>=1;j--)	gl[d][j]=(gl[d][j+1]+sl[d][j]*c[m-j+1])%P;
	}
	printf("%lld",(sr[d][m]+P)%P);
	return 0;
}