【spoj SEQN】【hdu 3439】Sequence

题意：

给出n、m、k 求C(n,k)*H(n-k)%m的值 H(n-k)为错排公式

题解：

先算H(n-k)

计算H(n)有个通式：

H(n)=(-1)^n+((-1)^(n-1))n+((-1)^(n-2))n(n-1)+...+n(n-1)(n-2)...3

证明详见维基百科：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98#.E7.AE.80.E5.8C.96.E5.85.AC.E5.BC.8F

因为我们是要算H(n-k)mod m的值 显然他的前不超过m项是>0的 而其它都为0 枚举求解即可

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再说C(n,k)%m

我们知道世界上有个叫 Lucas 定理的东西：

C(n, m) % p = C(n / p, m / p) * C(n % p, m % p) % p

但是它要求p是质数 所以它和本题的正解没什么关系- -

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由于除的数可能不与m互质 所以不能用乘法逆元

不妨将m分解 m=p1^a1*p2^a2*...*pn^an

分别计算C(n,k)%(pi^ai) 的值 最后用中国剩余定理计算答案

于是问题转换为求C(n,k)%(p^a)的值

C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)

为了让乘法逆元能能使用 只要将n!、(n-k)!、k! 所有p的倍数 提出来单独计算即可

如果n比较小 枚举计算不为p的倍数的数的积即可 但是这里n<=10^9 我们就需要用一些比较高端的方法

设A(n)=(1*2*..*(p-1)*(p+1)*...*(2p-1)*(2p+1)*...*n)

n!=A(n)*(p*2p*...*(n/p)p)

=A(n)*(n/p)!*p^(n/p)

=A(n)*A(n/p)*(n/p/p)!*p^(n/p/p)*p^(n/p)

=...

就是对n!不断的分解为A(n)*(n/p)!*p^(n/p) 再递归处理(n/p)! 直到n/p为0

当然在计算的同时 要累加/减 p的指数sum

这样就能求出C(n,k)不包含p的乘积了 最后再乘p^sum 即为C(n,k)%(p^a)

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问题结束了吗- - 显然木有 对于A(n)还需要用O(n)的时间求出 TLE！

设r=p^a

这里A(n)的值是要模r的 我们可以这样转换

A(n)=1*2*..*(p-1)*(p+1)*...*(2p-1)*(2p+1)*...*n

=(1*2*...*(r-1))*((r+1)*(r+2)*...*(2r-1))*(...*n)

=(1*2*...*(r-1))*(1*2*...*(r-1))*...*(1*2*...*n%r) (mod r)

我们就可以预处理save[i]存下1*2*...*i （p的倍数不乘，i<=r-1）

A(n)=save[r-1]^(n/r)*save[n%r] 快速幂就可用log(n)的时间求出A

加上预处理O(r) r<=m<=10^5

最后乘m的质因数的个数blabla- -具体多少我也不知道了 反正能过

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代码：

 #include <cstdio>
 typedef long long ll;
 const ll M=;
 ll n,k,m,t,a[M],r[M],ans,p[M],pri[M],bo[M],zs[M],save[M],tot;
 void makepri(){
     for (ll i=;i<M;i++){
         if (!bo[i]) pri[++pri[]]=i;
         for (ll j=;j<=pri[] && i*pri[j]<M;j++){
             bo[i*pri[j]]=;
             if (!(i%pri[j])) break;
         }
     }
 }
 ll mi(ll a,ll b,ll mo){
     ll res=%mo;
     for (;b;b>>=){
         if (b&) res=res*a%mo;
         a=a*a%mo;
     }
     return res;
 }
 ll extgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b){
     if (!b){
         x=,y=;
         return a;
     }else{
         ll res=extgcd(x,y,b,a%b);
         ll t=x;
         x=y;
         y=t-a/b*y;
         return res;
     }
 }
 ll getny(ll a,ll b){
     ll x,y,gc=extgcd(x,y,a,b),mo=b/gc;
     x=(x%mo+mo)%mo;
     return x;
 }

 void makep(){
     p[]=r[]=;
     for (ll i=,x=m;i<=pri[] && x>;i++)
     if (!(x%pri[i])){
         p[++p[]]=pri[i];
         r[++r[]]=;
         while (!(x%pri[i])) x/=pri[i],r[r[]]*=pri[i];
     }
 }
 void makesave(ll t){
     save[]=;
     for (ll i=,x=;i<=r[t];i++){
         if (i%p[t]) x=x*i%r[t];
         save[i]=x;
     }
 }
 ll jc(ll n,ll t,ll &z,ll bo){
     if (!n) return ;
     z+=bo*(n/p[t]);
     return mi(save[r[t]],n/r[t],r[t])*save[n%r[t]]%r[t]*jc(n/p[t],t,z,bo)%r[t];
 }
 ll getc(){
     makep();
     for (ll i=;i<=p[];i++){
         zs[i]=;
         makesave(i);
         a[i]=jc(n,i,zs[i],)*getny(jc(n-k,i,zs[i],-)*jc(k,i,zs[i],-)%r[i],r[i])%r[i];
         a[i]=a[i]*mi(p[i],zs[i],r[i])%r[i];
     }
     ll res=;
     for (ll i=;i<=p[];i++)
     res=(res+m/r[i]*getny(m/r[i],r[i])%m*a[i]%m)%m;
     return res;
 }

 ll geth(ll n){
     if (n==) return ;
     ll res=(n&) ? - : ;
     for (ll i=n,x=n*res*-%m;i>= && x;x=x*(--i)*-%m)
     res=((res+x)%m+m)%m;
     return res;
 }

 int main(){
     scanf("%I64d",&t);
     makepri();
     for (ll i=;i<=t;i++){
         tot=i;
         scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&k,&m);
         ans=(getc()*geth(n-k)%m+m)%m;
         printf("Case %I64d: %I64d\n",i,ans);
     }
 }

注：这个代码能过hdu的数据但是不能过spoj的... 可能有点小bug- -？（我说spoj → →）