scheme实现最基本的自然数下的运算

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　　作者：窗户

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　　教一个基本没编过什么程序的朋友scheme，为什么教scheme呢？因为他想学，因为一直听我鼓吹，而他觉得他自己多少有C语言一点基础，而又因为我觉得函数式才像数学，而过程式是偏向物理现实的，感觉不够抽象。当然，对于一个成年人来说，有着太多的生活、学习、工作经验，这些很多因为是物理现实，很有过程式的意思，对于理解递归这种数学抽象总觉得是不容易的。我告诉他，这个和你曾经读书时学的C语言有天壤之别。但无论如何，我决定试一试。

　　理解了前缀表达，理解了基本的递归，想想还是从这里开始吧。

　　我给出了三个函数：eq0，用来判断是否为0；inc，用来得到一个自然数的后继数；dec，用来得到一个自然数是哪个自然数的后继（有个特例，0不是任何数的后继，这里返回0）。然后让他借助scheme的递归，其余的只利用这三个函数来构造加减乘除乃至余数、乘方、对数。

;使用这三个函数实现自然数内的加减乘除乘方对数(《递归论》里的运算,除法和对数都是向下取整，减法被减数小于减数得到0)
(define (eq0 x) (=  x ))
(define (inc x) (+ x ))
(define (dec x) (if (= x )  (- x )))

　　递归论里都是自然数内部的函数，当然递归论其实本质上不过是用自然数（一个特殊的可列集）内的递归来模拟所有的运算，因为本质上我们一个确定的计算都是针对可列集。自然数里的计算搞定了，所有可计算问题都可以等价的转为自然数内的计算。

　　当然，上升到递归论层次，有些东西还是难懂的，比如一般递归算子和原始递归算子的理解。不过，如果只是学习函数式编程，而不是为了学习数学，一些东西可以庸俗化一点。

　　很显然，这个问题是难到他了，半天连加法似乎没有出来。于是我决定启发一下他。我们可以这样去考虑递归：

　　我们知道任何一个数加0都等于自身，那么假设计算4+3，可以这样考虑递归的过程，

　　4+3=5+2=6+1=7+0=7

　　也就是x+y往(x+1)+(y-1)的方向去递归，直到第二个数字递归到0为止。

　　很快这位仁兄写出了以下代码

(define (add x y) 
 (if (eq0 y) x 
  (add (inc x) (dec y))
 )
)

　　再接再厉，减法也是前后两个数逐渐dec，直到两个有一个变为0，嗯，也很快搞定(因为是自然数内的，这里的减法小的数减大的数结果为0，递归论里定义的减法就是这样)

(define (sub x y) 
 (if (eq0 x)  
  (if (eq0 y) x 
   (sub (dec x) (dec y))
  )
 )
)

　　我然后说，这里其实可以缩减一下(0 dec还是0)

(define (sub x y) 
 (if (eq0 y) x 
  (sub (dec x) (dec y))
 )
)

　　做乘法的时候，遇到了困难，于是我就提醒了一下，其实x*y，y=0的时候为0，y不为0的时候,x*y=x*(y-1)+x，所以可以这样写

(define (mul x y)
 (if (eq0 y) 0
  (add x (mul x (dec y)))
 )
)

　 他不可理解了，说add不是刚才定义过的吗，为什么现在就可以用了？我顿时明白了他之所以为难的原因，于是解释说，当然可以用，我们数学里面不是为了证明一个定理，很多时候先去证明一个引理嘛。他顿时理解了。

　　然后我接着说，如果不直接用也是可以的，只是复杂一些。我用3*3来解释这个问题，我需要记录过程状态：

　　3 3 0 0

　　3 2 3 0

　　3 2 2 1

　　3 2 1 2

　　3 2 0 3

　　3 1 3 3

　　3 1 2 4

　　3 1 1 5

　　3 1 0 6

　　3 0 3 6

　　3 0 2 7

　　3 0 1 8

　　3 0 1 9

　　左边第一个是被乘数，第二个是乘数，第四个是累计的结果。

　　计算过程规则如下：

　　(1)最开始的时候，第三个数和第四个数都为0。

　　(2)当第三个数为0的时候，第三个数减1，第四个数加1。
　　(3)当第三个数为0的时候，如果乘数不为0，就借一个被乘数过来，然后乘数减1；如果乘数为0，那么第四个累计的结果就是乘积。

　　作为函数式编程使用附加的值只能再加参数，于是有了这样的计算方法：

(define (_mul x y x2 r)
 (if (eq0 x2)
  (if (eq0 y) r
   (_mul x (dec y) x r)
  )
  (_mul x y (dec x2) (inc r))
 )
)
(define (mul x y)
 (_mul x y  )
)

　　他很惊讶于原来还可以这么干，不过很快理解了我的做法，然后我又告诉他，因为这个_mul是为了解决mul临时定义出来的函数，如同证明中的引理，可以写到mul的定义里面，写成

(define (mul x y)
 (define (_mul x y x2 r)
  (if (eq0 x2)
   (if (eq0 y) r
    (_mul x (dec y) x r)
   )
   (_mul x y (dec x2) (inc r))
  )
 )
 (_mul x y  )
)

　　接着，很快，他很快完成了乘方，

(define (pow x y)
 (if (eq0 y)
  (mul x (pow x (dec y)))
 )
)

　　嗯，还算可以，至少会举一反三，只是0的任意次幂为0，但0的0次幂嘛。。。算了，索性x不能等于0，算解决了。

　　除法（自然数内的除法这里只考虑整数部分）也很快做完，

(define (div x y)
 (if (> y x)
  (inc (div (sub x y) y))
 )
)

　　我“嗯？”了一下，然后说我这里只定义了一个谓词eq0，并没有定义>

　　然后我提醒他需要定义>，他搞不定了。

　　于是还是得我来写，

(define (> x y)
  (if (eq0  x) #f
   (if (eq0 y)
        #t
        (> (dec x) (dec y))
   )
  )
)

　　其实，也可以用之前的减法定义>

(define (> x y) (if (eq0 (- x y)) #f #t))
 

　　接着，他完成了余数和对数

(define (rem x y)
 (if (> y x) x
  (rem (sub x y) y)
 )
)
;这里的对数，是实数下对数的整数部分
(define (log x y)
 (if (> y x)
  (inc (log (div x y) y))
 )
)

　　然而对数的实现稍有问题（当然，不考虑x,y为0，y为1的情况），也不符合这个函数我想让他写成的样子，不过我不得不说他写对了，与其说是写对了，倒不如说是蒙对了，因为这个的写法是需要一个数学证明的（不要忘了，div返回的只是整数）。

　　证明在这里我就不赘述了，我希望他完成的大致应该如下：

(define (log x y)
 (define (_log x y y^r r)
  (if (> y^r x) (dec r)
   (_log x y (mul y^r y) (inc r))
  )
 )
 (_log x y  )
)

　　不过整体来说，我还算满意，毕竟只学了一点点时间，能在指导下搞定这么些，已经挺不错。