[AHOI2013]作业 (莫队+分块)

[AHOI2013]作业 (莫队+分块)

题面

给定了一个长度为n的数列和若干个询问，每个询问是关于数列的区间[l,r]，首先你要统计该区间内大于等于a，小于等于b的数的个数，其次是所有大于等于a，小于等于b的，且在该区间中出现过的数值的个数。

分析

为简化时间复杂度分析，假设n,m在同一个数量级

不完美解法

首先第一问可以用可持久化线段树解决，第二问考虑莫队，莫队的时候用一个树状数组维护数值的出现情况，区间移动的时候，如果出现一个新的权值，就在树状数组上单点更新。反之则单点删除。关键部分代码如下：

int cnt[maxn+5];
void add(int val){
	if(!cnt[val]) T2.update(val,1);//T2为树状数组
	cnt[val]++;
}
void del(int val){
	cnt[val]--;
	if(!cnt[val]) T2.update(val,-1);
}

发现时间复杂度的瓶颈主要在第二问，单次查询和修改的时间复杂度是\(O( \log n)\),时间复杂度\(O(m \sqrt n \log n)\)

会被卡常，一般能拿到95分，运气好的话能拿到100分

正解

上面的算法时间复杂度的瓶颈主要在第二问的修改操作，复杂度\(O(m \sqrt n \log n)\)。我们需要一个支持\(O(1)\)修改，且查询复杂度不大于\(O(\sqrt n)\)的数据结构。我们立即可以想到分块。

我们按权值分块，在当前莫队处理的序列区间内，val1[x]表示第x块第一问的答案，val2[x]表示第x块第二问的答案，还有一个辅助数组cnt[v]表示权值v出现的次数。每次l,r增加或减少，就先修改cnt,然后根据cnt的变化去修改val1,val2.

查询的时候两端的部分用cnt数组暴力统计，中间的整块用val1或val2

时间复杂度\(O(m \sqrt n)\)

代码

分块AC代码

//https://www.luogu.org/problem/P4396
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 1000000
#define maxm 1000000
#define maxlogn 20
using namespace std;
inline void qread(int &x) {
	x=0;
	int sign=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') sign=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*sign;
}
inline void qprint(int x) {
	if(x<0) {
		putchar('-');
		qprint(-x);
	} else if(x==0) {
		putchar('0');
		return;
	} else {
		if(x>=10) qprint(x/10);
		putchar('0'+x%10);
	}
}

int n,m;
int a[maxn+5];

int bsz;
int belong[maxn+5];
struct query{
	int l;
	int r;
	int a;
	int b;
	int id;
	friend bool operator < (query a,query b){
		return belong[a.l]<belong[b.l]||(belong[a.l]==belong[b.l]&&((belong[a.l]&1)?a.r<b.r:a.r>b.r));
	}
}q[maxm+5];

struct divide_block{
	inline int lb(int id){
		return bsz*(id-1)+1;
	}
	inline int rb(int id){
		return bsz*id>=n?n:bsz*id;
	}
	int cnt[maxn+5];//数x的出现次数
	int val1[maxn+5];//第i个整块的第一问答案
	int val2[maxn+5];//第i个整块的第二问答案
	void add(int val){
		if(cnt[val]==0) val2[belong[val]]++;
		cnt[val]++;
		val1[belong[val]]++;
	}
	void del(int val){
		cnt[val]--;
		if(cnt[val]==0) val2[belong[val]]--;
		val1[belong[val]]--;
	}
	int query1(int l,int r){
		int ans=0;
		for(int i=l;i<=min(r,rb(belong[l]));i++) ans+=cnt[i];
		for(int i=belong[l]+1;i<belong[r];i++) ans+=val1[i];
		if(belong[l]!=belong[r]){
			for(int i=lb(belong[r]);i<=r;i++) ans+=cnt[i];
		}
		return ans;
	}
	int query2(int l,int r){
		int ans=0;
		for(int i=l;i<=min(r,rb(belong[l]));i++) ans+=cnt[i]>0;
		for(int i=belong[l]+1;i<belong[r];i++) ans+=val2[i];
		if(belong[l]!=belong[r]){
			for(int i=lb(belong[r]);i<=r;i++) ans+=cnt[i]>0;
		}
		return ans;
	}
}B;

int ans1[maxm+5];
int ans2[maxm+5];
int main(){
	qread(n);
	qread(m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qread(q[i].l);
		qread(q[i].r);
		qread(q[i].a);
		qread(q[i].b);
		q[i].id=i;
	}
	bsz=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/bsz+1;
	sort(q+1,q+1+m);
	register int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(l>q[i].l) B.add(a[--l]);
		while(r<q[i].r) B.add(a[++r]);
		while(l<q[i].l) B.del(a[l++]);
		while(r>q[i].r) B.del(a[r--]);
		ans1[q[i].id]=B.query1(q[i].a,q[i].b);
		ans2[q[i].id]=B.query2(q[i].a,q[i].b);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qprint(ans1[i]);
		putchar(' ');
		qprint(ans2[i]);
		putchar('\n');
	}
}

树状数组代码(有时会TLE，有时能AC)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 1000000
#define maxm 1000000
#define maxlogn 20
using namespace std;
inline void qread(int &x) {
	x=0;
	int sign=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') sign=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*sign;
}
inline void qprint(int x) {
	if(x<0) {
		putchar('-');
		qprint(-x);
	} else if(x==0) {
		putchar('0');
		return;
	} else {
		if(x>=10) qprint(x/10);
		putchar('0'+x%10);
	}
}

int n,m;
int a[maxn+5];
struct persist_segment_tree{
#define lson(x) tree[x].ls
#define rson(x) tree[x].rs
	struct node{
		int ls;
		int rs;
		int sum;
	}tree[maxn*maxlogn+5];
	int ptr;
	void push_up(int x){
		tree[x].sum=tree[lson(x)].sum+tree[rson(x)].sum;
	}
	void update(int &x,int last,int upos,int l,int r){
		x=++ptr;
		tree[x]=tree[last];
		if(l==r){
			tree[x].sum++;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(upos<=mid) update(tree[x].ls,tree[last].ls,upos,l,mid);
		else update(tree[x].rs,tree[last].rs,upos,mid+1,r);
		push_up(x);
	}
	int query(int xl,int xr,int L,int R,int l,int r){
		if(L<=l&&R>=r){
			return tree[xr].sum-tree[xl].sum;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		int ans=0;
		if(L<=mid) ans+=query(tree[xl].ls,tree[xr].ls,L,R,l,mid);
		if(R>mid) ans+=query(tree[xl].rs,tree[xr].rs,L,R,mid+1,r);
		return ans;
	}
}T1;
int root[maxn+5];

struct fenwick_tree{
	inline int lowbit(int x){
		return x&(-x);
	}
	int c[maxn+5];
	void update(int pos,int val){
		for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=val;
	}
	int sum(int pos){
		int ans=0;
		for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
		return ans;
	}
	int query(int l,int r){
		return sum(r)-sum(l-1);
	}
}T2;

int bsz;
int belong[maxn+5];
struct query{
	int l;
	int r;
	int a;
	int b;
	int id;
	friend bool operator < (query a,query b){
		return belong[a.l]<belong[b.l]||(belong[a.l]==belong[b.l]&&((belong[a.l]&1)?a.r<b.r:a.r>b.r));
	}
}q[maxm+5];

int cnt[maxn+5];
void add(int val){
	if(!cnt[val]) T2.update(val,1);
	cnt[val]++;
}
void del(int val){
	cnt[val]--;
	if(!cnt[val]) T2.update(val,-1);
}
int ans1[maxm+5];
int ans2[maxm+5];
int main(){
	qread(n);
	qread(m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(a[i]);
		T1.update(root[i],root[i-1],a[i],1,n);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qread(q[i].l);
		qread(q[i].r);
		qread(q[i].a);
		qread(q[i].b);
		q[i].id=i;
	}
	bsz=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=i/bsz+1;
	sort(q+1,q+1+m);
	register int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(l<q[i].l) del(a[l++]);
		while(l>q[i].l) add(a[--l]);
		while(r<q[i].r) add(a[++r]);
		while(r>q[i].r) del(a[r--]);
		ans1[q[i].id]=T1.query(root[q[i].l-1],root[q[i].r],q[i].a,q[i].b,1,n);
		ans2[q[i].id]=T2.query(q[i].a,q[i].b);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qprint(ans1[i]);
		putchar(' ');
		qprint(ans2[i]);
		putchar('\n');
	}
}