17-正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
定义:如果一个矩阵,其转置与自身的乘积等于单位向量,那么该矩阵就是正交矩阵,该矩阵一般用Q来表示,即$Q^TQ=QQ^T=I$,也就是$Q^T=Q^{-1}$,即转置=逆
注意:正交矩阵一定是方阵,我们来举例一个正交矩阵
$Q=\left|\begin{array}{cc}{\cos \theta} & {-\sin \theta} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right|$
$Q^{T}=\left|\begin{array}{cc}{\cos \theta} & {\sin \theta} \\ {-\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right|$
性质:有了上面正交矩阵的定义,微秒可以得到几个正交矩阵的性质
a)正交矩阵的行列式$|Q|=1$或者$|Q|=-1$,即行列式等于1或者-1,这个好推导,根据上面的定义,可知正交矩阵的行列式的平方与单位矩阵的行列式(为1)的平方相等
b)$Q^T=Q^{-1}$,并且也正交
c)如果矩阵$P$正交,那么矩阵$PQ$也正交
2)预备知识
a)正交向量:两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°
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