17-正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

一、视频链接

　1）正交矩阵

　　定义：如果一个矩阵，其转置与自身的乘积等于单位向量，那么该矩阵就是正交矩阵，该矩阵一般用Q来表示，即$Q^TQ=QQ^T=I$，也就是$Q^T=Q^{-1}$，即转置=逆

　　注意：正交矩阵一定是方阵，我们来举例一个正交矩阵

$Q=\left|\begin{array}{cc}{\cos \theta} & {-\sin \theta} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right|$

$Q^{T}=\left|\begin{array}{cc}{\cos \theta} & {\sin \theta} \\ {-\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right|$

　　性质：有了上面正交矩阵的定义，微秒可以得到几个正交矩阵的性质

　　　a）正交矩阵的行列式$|Q|=1$或者$|Q|=-1$，即行列式等于1或者-1，这个好推导，根据上面的定义，可知正交矩阵的行列式的平方与单位矩阵的行列式（为1）的平方相等

　　　b）$Q^T=Q^{-1}$，并且也正交

　　　c）如果矩阵$P$正交，那么矩阵$PQ$也正交

　2）预备知识

　　a）正交向量：两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°