[BZOJ1010]玩具装箱toy（斜率优化）

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个 常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

N<=50000

Solution

斜率优化DP入门题，

常规方程：\(dp[i]=min\{dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)^2\}\)

\(O(N^2)\)显然不行

设\(f[i]=sum[i]+i,C=L+1\)

• 那么\(dp[i]=min\{dp[j]+(f[i]-f[j]-C)^2\},0\leq j <i\)

设在状态 i 中，决策 k ( k > j ) 较决策 j 更优得斜率式：

• \(( dp[ k ] – dp[ j ] + (f[ k ] + C )^2 – ( f[ j ] + C )^2 ) / 2*(f[ k ] – f[ j ] ) ≤ f[ i ]\)

易证，

即可将复杂度优化到 \(O(N)\)，开个优先队列维护即可

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define N 50010
#define squ(x) ((x)*(x))
using namespace std;

int n,C,l,r,q[N];
ll dp[N],f[N];

inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}

double calc(int x,int y){
	return (dp[y]-dp[x]+squ(f[y]+C)-squ(f[x]+C))/(2.0*(f[y]-f[x]));
}

void DP(){
	l=1,r=0;q[++r]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		while(l<r&&calc(q[l],q[l+1])<=f[i]) l++;
		int t=q[l];
		dp[i]=dp[t]+squ(f[i]-f[t]-C);
		while(l<r&&calc(q[r],i)<calc(q[r-1],q[r])) r--;
		q[++r]=i;
	}
}

int main(){
	n=read(),C=read()+1;
	for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=f[i-1]+read();
	for(int i=1;i<=n;++i) f[i]+=i;
	DP();
	printf("%lld\n",dp[n]);
	return 0;
}