hihoCoder #1162 : 骨牌覆盖问题·三 （矩阵快速幂，DP）

题意：有一个k*n的棋盘，要求用1*2的骨牌来铺满，有多少种方案？（k<8，n<100000001）

思路：

　　由于k是比较小，但是又不那么小，可以专门构造这样的一个矩阵M，使得只要我们有一个初始矩阵R，求得ans矩阵，然后答案就在ans中了。ans=R*Mⁿ。

　　M的大小应该是2^k*2^k，所以当k稍微大一些就不合适存储这个矩阵了，而且里面大部分都是0，很浪费。由于k<8，所以M的大小为128*128是可以接受的。复杂度是O(2^3*k*logn)，大概是千万级别的。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int N=;
 const int mod=;
 int k, n;
 int M[][], grid[][], tot[][], cur[][];

 void DFS(int x,int y,int col)   //构造矩阵M。
 {
     if(col==k)
     {
         M[y][x]=;              //表示y可以转移到x
         return ;
     }
     DFS(x<<, (y<<)+, col+);                      //不放
     DFS((x<<)+, y<<, col+);                      //放竖
     if(col+<=k)    DFS((x<<)+, (y<<)+, col+);  //放横
 }

 void mul(int A[][],int B[][])
 {
     for(int i=; i<(<<k); i++)
     {
         for(int j=; j<(<<k); j++)
         {
             int tmp=;
             for(int q=; q<(<<k); q++)
             {
                 tmp+=A[i][q]*B[q][j];
                 tmp%=mod;
             }
             grid[i][j]=tmp;
         }
     }
     memcpy(A, grid, sizeof(grid));
 }

 int cal(int t)  //注意t=n-1
 {
     memset(M, , sizeof(M));
     memset(tot, , sizeof(tot) );
     memset(cur, , sizeof(cur) );
     DFS( , , );   //求矩阵。
     memcpy(cur, M, sizeof(M));
     while(t)
     {
         if(t&) mul(M, cur);    //该位为1
         mul(cur, cur);  //矩阵自乘
         t>>=;
     }
     return M[(<<k)-][(<<k)-];   //矩阵很特殊，只需要这一项。
 }

 int main()
 {
     //freopen("input.txt", "r", stdin);
     while(~scanf("%d%d", &k, &n))    printf("%d\n", cal(n-));
     return ;
 }

AC代码