bzoj4031 [HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

正解：矩阵树定理+高斯消元。

$Matrix-Tree$定理

1、$G$的度数矩阵$\({D_G}\)$是一个$n*n$的矩阵，并且满足：当$i≠j$时,$\({D_{i,j}}\)=0$；当$i=j$时，$\({D_{i,j}}\)$等于$\({V_{i}}\)$的度数。
2、$G$的邻接矩阵$\({A_{G}}\)$也是一个$n*n$的矩阵，并且满足：如果$\({V_{i}}\)$、$\({V_{j}}\)$之间有边直接相连，则$\({A_{i,j}}\)=1$，否则为$0$。
定义$G$的$Kirchhoff$矩阵$\(C_G\)$为$\(C_G=D_G-A_G\)$
$Matrix-Tree$定理：$G$的所有不同的生成树的个数等于其$Kirchhoff$矩阵$\(C_G\)$任何一个$n-1$阶主子式（去掉第$r$行第$r$列的新矩阵）的行列式的绝对值。

这题有一个麻烦的地方在于：模数不是质数。所以我们不能直接求逆元。但是我们可以用欧几里得定理，直接辗转相除就行了。

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 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <complex>
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 #define rhl (1000000000)
 #define inf (1<<30)
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

 using namespace std;

 ll a[][],d[][],g[][],c[][],n,m,cnt,ans;
 char s[][];

 il void insert(RG ll x,RG ll y){ g[x][y]=,d[x][x]++; return; }

 il void gauss(){
     RG ll f=;
     for (RG ll i=;i<cnt;++i){
     for (RG ll j=i+;j<cnt;++j){
         RG ll x=a[i][i],y=a[j][i];
         while (y){
         RG ll t=x/y; x%=y; swap(x,y);
         for (RG ll k=i;k<cnt;++k){
             a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%rhl+rhl)%rhl;
             swap(a[i][k],a[j][k]);
         }
         f=-f;
         }
     }
     if (!a[i][i]){ ans=; return; }
     ans=ans*a[i][i]%rhl;
     }
     if (f==-) ans=(rhl-ans)%rhl; return;
 }

 il void work(){
     cin>>n>>m,ans=;
     for (RG ll i=;i<=n;++i){
     scanf("%s",s[i]+);
     for (RG ll j=;j<=m;++j)
         if (s[i][j]=='.') c[i][j]=++cnt;
     }
     for (RG ll i=;i<=n;++i)
     for (RG ll j=;j<=m;++j){
         if (s[i][j]=='*') continue;
         if (i-> && s[i-][j]=='.') insert(c[i][j],c[i-][j]);
         if (i+<=n && s[i+][j]=='.') insert(c[i][j],c[i+][j]);
         if (j-> && s[i][j-]=='.') insert(c[i][j],c[i][j-]);
         if (j+<=m && s[i][j+]=='.') insert(c[i][j],c[i][j+]);
     }
     for (RG ll i=;i<=cnt;++i)
     for (RG ll j=;j<=cnt;++j) a[i][j]=(d[i][j]-g[i][j]+rhl)%rhl;
     gauss(); printf("%lld",ans); return;
 }

 int main(){
     File("room");
     work();
     return ;
 }