【NOI2010】海拔【平面图最小割】

【问题描写叙述】

YT市是一个规划良好的城市，城市被东西向和南北向的主干道划分为n×n个区域。简单起见。能够将YT市看作一个正方形，每个区域也可看作一个正方形。从而。YT城市中包含(n+1)×(n+1)个交叉路口和2n×(n+1)条双向道路（简称道路），每条双向道路连接主干道上两个相邻的交叉路口。下图为一张YT市的地图(n = 2)，城市被划分为2×2个区域，包含3×3个交叉路口和12条双向道路。

小Z作为该市的市长。他依据统计信息得到了每天上班高峰期间YT市每条道路两个方向的人流量。即在高峰期间沿着该方向通过这条道路的人数。每个交叉路口都有不同的海拔高度值，YT市市民觉得爬坡是一件很累的事情，每向上爬h的高度，就须要消耗h的体力。

假设是下坡的话，则不须要耗费体力。

因此假设一段道路的终点海拔减去起点海拔的值为h(注意h可能是负数)。那么一个人经过这段路所消耗的体力是max{0, h}（这里max{a, b}表示取a, b两个值中的较大值）。

小Z还測量得到这个城市西北角的交叉路口海拔为0。东南角的交叉路口海拔为1(如上图所看到的)。但其他交叉路口的海拔高度都无法得知。小Z想知道在最理想的情况下（即你能够随意如果其他路口的海拔高度）。每天上班高峰期间全部人爬坡消耗的整体力和的最小值。

【输入格式】

第一行包括一个整数n。含义如上文所看到的。

接下来4n(n + 1)行，每行包括一个非负整数分别表示每一条道路每个方向的人流量信息。输入顺序：n(n + 1)个数表示全部从西到东方向的人流量，然后n(n + 1)个数表示全部从北到南方向的人流量，n(n + 1)个数表示全部从东到西方向的人流量。最后是n(n + 1)个数表示全部从南到北方向的人流量。对于每个方向，输入顺序依照起点由北向南，若南北方向同样时由西到东的顺序给出(參见例子输入)。

【输出格式】

仅包括一个数，表示在最理想情况下每天上班高峰期间全部人爬坡所消耗的整体力和（即整体力和的最小值），结果四舍五入到整数。

【例子输入】

【例子输出】

【例子说明】

例子数据见下图。

最理想情况下全部点的海拔如上图所看到的。

【数据规模】

对于20%的数据：n ≤ 3。

对于50%的数据：n ≤ 15；

对于80%的数据：n ≤ 40。

对于100%的数据：1 ≤ n ≤ 500，0 ≤ 流量 ≤ 1,000,000且全部流量均为整数。

【提示】

海拔高度不一定是整数。

【执行时限】

2秒。

【执行空限】

512M。

题解：首先依据调整法能够证明高度中仅仅存在0和1。而且0一定连在一起，1一定连在一起，然后就能够想到求最小割，由于数据范围比較大。我们须要转化成对偶图求最短路。另一点问题是这个图是有向图。解决办法是把每条边都逆时针转90度。

（普通spfa会超时两个点，须要使用slf优化或堆优化dijkstra）

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

int s,t,c,n,point[5000001],next[5000001],cnt,dis[5000001],l[50000001];

bool f[5000001];

struct use{

	int st,en,val;

}b[5000001];

void add(int x,int y,int z)

{

	next[++cnt]=point[x];point[x]=cnt;

	b[cnt].st=x;b[cnt].en=y;b[cnt].val=z;

}

int spfa(int x,int y)

{

	int h,t,u;

	memset(dis,127/3,sizeof(dis));

    dis[x]=0;h=0;t=1;l[t]=x;f[x]=true;

    while (h<t)

    {

	  u=l[++h];

	  f[u]=false;

	  for (int i=point[u];i;i=next[i])

	    if (dis[b[i].en]>dis[u]+b[i].val&&b[i].en!=u)

	      {

			 dis[b[i].en]=dis[u]+b[i].val;

			 if (!f[b[i].en])

			   {

				  f[b[i].en]=true;

				  if (dis[b[i].en]<dis[l[h+1]]) l[h--]=b[i].en;

				  else

				  l[++t]=b[i].en;

			   }

		  }

	}

    if (dis[y]>510000000) dis[y]=0;

    return dis[y];

}

int main()

{

   freopen("altitude.in","r",stdin);

   freopen("altitude.out","w",stdout);

   scanf("%d",&n);

   s=1;t=n*n+2;

   for (int i=1;i<=n+1;i++)

     for (int j=1;j<=n;j++)

	   {

		  scanf("%d",&c);

		  if (i==1) add(j+1,t,c);

		  if (i==n+1) add(s,n*(n-1)+j+1,c);

		  if (i>1&&i<n+1) add(n*(i-1)+j+1,n*(i-2)+j+1,c);

	   }

	 for (int i=1;i<=n;i++)

	   for (int j=1;j<=n+1;j++)

	     {

			scanf("%d",&c);

			if (j==1) add(s,n*(i-1)+2,c);

			if (j==n+1) add(n*(i-1)+n+1,t,c);

			if (j>1&&j<n+1) add(n*(i-1)+j,n*(i-1)+j+1,c);

		 }

	for (int i=1;i<=n+1;i++)

      for (int j=1;j<=n;j++)

	   {

		  scanf("%d",&c);

		  if (i==1) add(t,j+1,c);

		  if (i==n+1) add(n*(n-1)+j+1,s,c);

		  if (i>1&&i<n+1) add(n*(i-2)+j+1,n*(i-1)+j+1,c);

	   }

	 for (int i=1;i<=n;i++)

	   for (int j=1;j<=n+1;j++)

	     {

			scanf("%d",&c);

			if (j==1) add(n*(i-1)+2,s,c);

			if (j==n+1) add(t,n*(i-1)+n+1,c);

			if (j>1&&j<n+1) add(n*(i-1)+j+1,n*(i-1)+j,c);

		 }

	 cout<<spfa(s,t);

}