bzoj 1925: [Sdoi2010]地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

题解：

非常强的思维题哈......

我们要明白一些关键的定理：

原问题是求波动数列的个数

(1).如果两个数i,i-1 且他们在数列中位置不相邻，那么交换他们两个，数列也为波动数列

(2).把一个波动数列同时变为n-i+1，那么依旧为波动序列，且某些山谷变山峰

所以我们设状态为f[i][j]表示：已经填了[1,i]这个范围的数，第一个数为j且j为峰顶的方案数

根据(1)可以得出f[i][j]=f[i][j-1] 因为交换j，j-1即可形成新方案又因为我们强制j为峰顶，那么不会重复

根据(2)得：如果第二个数是j-1那么去掉第一个数j后，还剩[1,j-1]和[j+1,i]所以我们把后一个区间数都减1，就变成了一个[1,i-1]的排列，所以我们强制第二个数为j-1，且为谷，那么怎么转移呢？

因为满足(2)的对称性那么可以从f[i-1][(i-1)-(j-1)+1]得出不是吗？

综上f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]

最后记得答案乘二，因为满足对称性

 #include <algorithm>

 #include <iostream>

 #include <cstdlib>

 #include <cstring>

 #include <cstdio>

 #include <cmath>

 using namespace std;

 const int N=;

 int f[][N];

 void work()

 {

     int n,mod;

     scanf("%d%d",&n,&mod);

     bool tt=,t=;

     f[tt][]=;

     for(int i=;i<=n;i++){

         for(int j=;j<=i;j++){

             f[t][j]=(f[t][j-]+f[tt][i-j+])%mod,f[t][j]%=mod;

         }

         t^=;tt^=;

     }

     int ans=;

     for(int i=;i<=n;i++)

         ans+=f[tt][i],ans%=mod;

     printf("%d\n",(ans<<)%mod);

 }

 int main()

 {

     work();

     return ;

 }