BZOJ_1925_[Sdoi2010]地精部落_递推

BZOJ_1925_[Sdoi2010]地精部落_递推

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

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分析：好题。设$f[i][j]$ 为i个不同的数，第一个数排名小于等于$j$ ，且第一个数为山峰的方案数。

转移方程$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]$ .$f[i][j-1]$ 表示把排名小于j的加入贡献。

然后考虑第一个数为排名第$j$ 的情况，第二个数肯定要做山谷，那么第二个数只能选后$i-1$ 个数中排名第$1\thicksim j-1$ 这些数中的一个。

但我们的$f$ 数组表示第一个数为山峰的方案，不妨把这$i-1$ 个数从大到小排序，那么第$j-1$ 小的数就是序列第$i-j$大的数。

发现此时$f[i][j]$的意义可以是"$i$ 个不同的数，第一个数排名小于等于$j$ ，且第一个数为山峰的方案数"

也可以是“$i$个不同的数，第一个数排名大于等于$i-j+1$，且第一个数为山谷的方案数”。

转移中的$f[i-1][i-j]$就可以理解了。

空间需要滚动数组。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[2][4550],p;
int n;
int main() {
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    if(n==1) {
        printf("%d\n",1%p); return 0;
    }
    int i,j;
    f[1][1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++) {
        for(j=1;j<=i;j++) {
            f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[i-1&1][i-j])%p;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n&1][n]*2%p);
}