嘴巴题8 BZOJ2318: Spoj4060 game with probability Problem

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Description

Alice和Bob在玩一个游戏。有n个石子在这里，Alice和Bob轮流投掷硬币，如果正面朝上，则从n个石子中取出一个石子，否则不做任何事。取到最后一颗石子的人胜利。Alice在投掷硬币时有p的概率投掷出他想投的一面，同样，Bob有q的概率投掷出他相投的一面。

现在Alice先手投掷硬币，假设他们都想赢得游戏，问你Alice胜利的概率为多少。

Input

第一行一个正整数t，表示数据组数。

对于每组数据，一行三个数n，p，q。

Output

对于每组数据输出一行一个实数，表示Alice胜利的概率，保留6位小数。

Sample Input

1

1 0.5 0.5

Sample Output

0.666667

HINT

数据范围：

1<=t<=50

0.5<=p,q<=0.99999999

对于100%的数据 1<=n<=99999999

Source

题解

\(f[i]\)表示剩i个石头，Alice先手获胜的概率
\(g[i]\)表示剩i个石头，Alice后手获胜的概率
不妨设他们都想选
有
\(f[i] = p \times g[i-1] + (1-p) \times g[i]\)
\(g[i] = q \times f[i-1] + (1-q) \times f[i]\)
不想选只需把\(p\)与\((1-p)\)互换，\(q\)与\((1-q)\)即可
这个式子看上去是不能推的，但观察发现下面式子左边是\(g[i]\)，右边是\(f[i-1]\)和\(f[i]\)，上面的式子右边是\(g[i]\)和\(g[i-1]\),左边是 $ g[i]$
所以把下边的式子待到上面去就能得到\(f[i]\)等于关于\(g[i-1]\),\(f[i-1]\)的多项式，\(f[i]\)就可以递推了
\(g[i]\)同理

那么如何确定想选还是不想选呢？
不难发现，如果\(f[i-1] > g[i-1]\)，肯定是不想选的，Ailce想让Bob选成剩下\(i-1\)个，这样自己获胜概率大一些
反之，如果\(f[i-1] < g[i-1]\),肯定是想选的，同理

但是n很大，线性也做不了
不（题）难（解）发（上）现（说）n大了之后概率变动很小
既然是n的那就让n最大跑个1000W吧（或者卡时跑）